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一、引言：要从数学本质出发进行“有理数乘法”教学 “有理数乘法”是初中数学的重要内容，“负负得正”是其中的教学难点。对随意选取的按照苏科版《数学》①教材学习过这部分内容的初中学生的调查显示，几乎所有学生均能背诵“有理数乘法法则”，且能利用该法则进行正确计算。然而没有一个学生能说明有理数乘法的意义，也不能正确举出一个同有理数乘法有关的实际例子。造成学生“不理解有理数乘法的实质，仅会机械套用法则进行计算”的原因是多方面的，这里仅谈这部分内容的教学研究情况。 对教研论文的研究发现，“有理数乘法”的教学研究主要集中在乘法的“实例引入”[1][2][3]“历史过程”[4]和“法则证明”[5]三个方面。然而这三种做法是值得推敲的，原因是与有理数乘法相关的生活实例较为复杂，涉及三个不同单位的量，每个量又要规定三个基准，这种复杂的关系会使得学生晕头转向。从历史上看，有理数的发现和运算分别经过了近千年的历史，有关这漫长历史的史料甚为贫乏，作为教学是远远不够的。有理数的运算法则是人为定义的，是不能用逻辑的方式加以证明的。 那么，应当以什么样的方式进行“有理数乘法”教学，突破“负负得正”的教学难点呢？解决这个问题的关键在于理解有理数乘法的数学本质：有理数的乘法是一个数学规定，是人为的定义，它的正确性不是源于逻辑证明，而是依赖于数学的特征与数学和谐运转的需要。因此，“有理数乘法”的数学，要从本质入手，在理解“有理数乘法”定义本质的基础上，发现其运算法则。本文正是基于此，首先探讨“有理数乘法”的数学本质，再谈谈利用数学本质进行教学的可行性。 二、对“有理数乘法”数学本质的理解 1.“有理数乘法”的数学规定 在自然数集上，规定乘法是数自身连加的缩写，如4+4+4=4×3=12。一般的，a×b表示b个a相加，且乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律。 有理数集上的乘法，是自然数集上乘法的拓展。既要满足自然数按照有理数乘法法则运算后的结果等于按照原来自然数乘法法则运算后的结果，又要保留乘法的运算律，即有理数集中定义的乘法仍然要满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律。 对于“乘数是正数”的情形，即“正数乘以正数”与“负数乘以正数”是比较好定义的，仍然是“有理数自身的连加”，这也比较好理解。比如4x3表示3个4连加，即4×3=4+4+4=12；(-4)×3表示3个“-4”连加，即(-4)×3=(-4)+(-4)+(-4)=-12。按照这个定义，被乘数表示连加的有理数，乘数表示有理数的个数，乘积表示连加的结果。 对于“乘数是负数”的情形，即“正数乘以负数”与“负数乘以负数”，显然沿用“被乘数自身的连加”是行不通的，必须做出适当的改变。如何改变呢？这要从负数的意义入手，负数与正数表示相反意义的量，既然乘数为正数时表示“有理数自身的连加”，那么乘数为负数时就可以表示“被乘数自身的连减”，这也不违背常理。比如4×(-3)表示3个4连减，即4×(-3)=-4-4-4=-12；(-4)×(-3)表示3个“-4”连减，即(-4)×(-3)=-(-4)-(-4)-(-4)=12。按照这个定义，被乘数表示连减的有理数，乘数的相反数表示有理数的个数，乘积表示连减的结果。 对于“乘数是负数”的情形，也可以理解为“被乘数相反数的连加”，这也是基于“负数与正数表示相反意义的量”的理解，将乘数的相反意义转化到被乘数上。比如4×(-3)表示3个“-4”连加，即4×(-3)=(-4)+(-4)+(-4)=-12；(-4)×(-3)表示3个“4”连加，即(-4)×(-3)=4+4+4=12。按照这个定义，被乘数的相反数表示连加的有理数，乘数的相反数表示有理数的个数，乘积表示连加的结果。 总之，基于“正数和负数表示相反意义的量”的理解，定义两个有理数a与b相乘的意义是：当b为正数时，a×b表示b个a的连加；当b为负数时，a×b表示“-b”个a连减，或者表示“-b”个“-a”的连加；当b=0时，a×b=0。容易验证，通过这种理解来定义的有理数乘法，满足乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。 通过这种类比的定义，就容易理解“负负得正”了，即“若a、b为正有理数，则(-a)×(-b)表示b个‘-a’连减或者6个‘a’连加，即(-a)×(-b)=-(-a)-(-a)-…-(-a)=a+a+…+a”；也容易理解“两个负数相乘，结果等于它们的绝对值相乘”。 2.“有理数乘法法则”依赖于数学的和谐运转 在数学发展史上，当加法和乘法的运算集合由自然数拓展到整数时，就需要检验整数上的乘法是否适用。显然，在整数集合上加法是成立的。对于乘法，则需要注意，如何定义正数与负数相乘和负数与负数相乘。为此，对于整数集合上的乘法，需要附加法则（如图1） |
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