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数学法则、定理及运算技能
运算法则的掌握
1.教学生掌握运算法则时几个重要问题 （1）要通过分析实例，自己概括规律和理解法则。掌握运算法则的关键在于理解，不但应懂得如何运算，而且要懂得为什么这样算。例如，教四则混合运算法则，应引导学生去处理几个加减乘除多种多样混合的实际课题，通过分析比较，自己概括出必须先乘除后加减的道理。这样，法则中的每一环节对学生都是有意义的，各环节间形成了有必然联系的规律性关系。以后遇到这类课题就想起法则，接触到一个环节就会联想起另一环节，既容易记住又有利于将它扩展到新的情境中去。 （2）注意运算法则之间的正负迁移。先掌握的运算法则对后学习的运算法则，既有积极的影响，又可能产生于扰。例如已掌握整数运算法则，对于学习小数、分数的运算法则来说，凡有共同性的方面则有正迁移的效果，凡有特殊性的部分则会成为障碍。所以新运算法则的教学必须充分利用旧法则中已有知识，又要预防其干扰。 （3）运算法则的掌握过程是从开展的、详尽的思维活动过渡到压缩的、省略的思维活动。以负数乘方法则为例，（-2）4的运算，其思维活动从开展到压缩的过程如下：先详尽地开展，（-2）4=（-2）（-2）（-2）（-2）=（+ 4）（－2）（-2）=（-8）（-2）=+16。后来压缩为（-2）4=+16。开展为了理解，以保证初期运算的正确；压缩为了简化中间环节，提高运算速度。 2.最基本的运算法则的掌握 不少学生在运算上的错误，往往是没有掌握好最基本的运算法则。 （1）自然数运算的最基本法则是加减乘除的运算法则，它是一切运算法则的基础。心理学研究表明，儿童掌握加法运算有三种不同水平，最初是从头逐一数，其次是在第一个加数基础上逐一加，最后才达到按群加。减法在最初是逐一减，之后逐一数其剩余，后来才达到按群减。不论加或减，未掌握按群计算之前，均不能摆脱对实物的视学与动作的线索。只有达到按群运算，才是在抽象水平上进行加、减。这时，数词或数字不仅是认数计数的工具，而且成为运算对象了。只有这时才开始真正按一定法则作加减运算，在此之前实际上只是数数而已。为了使儿童及早掌握按群加、减，关键在于提高十以内数序与基数概念的水平，如以前曾指出的数字概念要达到能确定序数在系列中顺反方向的位置，基数概念要达到认识数的内部构成（组成、分解），数与数之间在概念上形成多种联系。只有这样，十以内按群加减的法则才成为可理解的。在此基础上，进一步掌握10的组成、分解，加上以十为新的计数单位，使凑十加与分十减的进退位加减法则成为可理解的，才能在推理水平上进行 20以内的加减运算。10以内的按群加减和20以内的进退位加减法则，是自然数加减的最基本法则，掌握了这些法则，自然数加减运算能力就能提高到新水平。 从同数连加导向乘法运算，是从理解乘法意义、学习口诀开始的。教改实验证明，引导学生对乘法基本九九作分析，以理解其构成规律，对学口诀有重大作用。例如：教“4”的乘法前先引导学生观察已学过的“2”和“3”的乘法口诀，去发现如果乘数（或被乘数）不变，被乘数（或乘数）每多1，积的增大数和乘数（或被乘数）一样大，或相邻两句口诀末尾数词的差与乘数（或被乘数）一样大。再把这和同数连加的式子比较，就能在理解的基础上学好乘法口诀，而不是单纯死背。当然理解之后还是要求背熟。但这样学口诀时，每一句都成为可理解的，学生也能自己检查口诀是否记错而自行纠正，有利于在试背时按其间的意义关系记忆。更重要的是，这既可加强对已学的“2”和“3”的乘法口诀的理解，又可按同理自编“4”的乘法口诀。这样，对一组口诀的理解就可迁移到各组口诀的学习中去，大大有利于掌握口诀。 在掌握乘法口诀后，引进一位数乘法（被乘数多位）、多位数乘法，都是乘法九九基本运算的扩充。 教改经验证明，从连减同数和乘法运算的可逆联想着手，通过用乘法口诀求商的方法来学习基本除法运算，有利于掌握同一除数的一组除法，因为它可以利用同一乘数口诀逆运算的正迁移。而且在掌握同一除数的一组除法后，同一方法又有利于迁移到另一组除法运算的学习中去。这样，就使乘除法基本九九结合起来，构成为基本乘除法运算的结构。取消表内除法，其心理学依据就在于此。 从除法基本九九运算扩大到一位数除法（被除数是多位数）和多位数除法，比基本九九乘法的扩大难。其最主要的原因有二：一是不理解为什么在第一次求商后要在被除数中减去商与除数之积，然后继续求商。关键在于离开连减同数来理解除法，因此两次（或多次）求商之间的减，仿佛成为横插在求商之间的无意义的独立环节，造成心理上的障碍。二是试图困难，其原因除了与前一种困难相同外，还加上用乘法口诀求商未扩大到不能一次整除的课题，因此心理上缺乏准备。例如有的学生初次遇到38÷9的课题时说：“没有这个口诀。” 自然数范围内的其他运算法则，都是以加减乘除基本运算法则为基础，加以扩大而提高其概括水平的。 （2）代数的运算法则很多，其中最重要的基本运算法则是有理数运算法则。有理数法则包括绝对值法则与符号法则。有关研究指出，绝对值法则对有些学生较难掌握。一是它的词的结构复杂，不易记忆和理解；一是由于它与已熟练的算术法则有类似之处，较少需要积极的注意，所以学生往往不再有意去记它，突出表明受算术运算法则正、负两种迁移的双重影响。至于符号法则，减法运算符号最容易与性质符号混淆，这在前面已经谈过。 在讲解有理数运算法则时，一般都是通过实例（火车运行或温度变化等）导出法则。为了了解学生对法则的导出过程是否能用自己的语言阐述，以及能否用实例说明法则，曾经有人进行过研究。他们用火车运行的例子要学生解释有理数“负乘负得正”的理由。结果表明有四种水平：最高级的，能从实例导出法则，并能说明理由和应用法则，其思维中的抽象概括与具体化过程之间能灵活转换。次一级的，能从实例导出法则，但不能说清理由，有的还夹着从法则导出法则和循环解释的特点，但思维过程中的抽象概括与具体化基本上是统一的，抽象的法则与具体事例之间还有着一定的联系。再次一级，能应用法则但不能说明它的由来，思维的抽象概括与具体化过程有些脱节。最低级的，不能从实例导出法则，也不能明确地了解法则的由来，有时还表现出所说的法则与运算式矛盾的现象。如有个学生列的算式为（+4）（速度）×（-3）（时间）=-12[公里][距离]，但所说明的法则却为“正乘正得正”。他们对法则与具体事例间的关系不清楚，不能把它们灵活转化，抽象概括与具体化完全脱节。
如何形成运算技能
1.运算技能形成的心理分析 已掌握的数学法则还必须转化为运算技能。运算技能的形成是不断运用运算法则，经过多次合理练习而实现的。衡量运算技能的标志，是看运算的准确度、速度、灵活性和意识到运算法则的清晰程度。 运算首先要正确。在初期保证正确是靠明确地意识到整个法则。不仅要意识到算什么、怎么算，还要意识到如此算，即严格地照法则进行思考，仿佛是在法则的变式课题上再理解法则一样。这样可保证各个环节都按严格确定的顺序进行，巩固正确的运算方法，并把它与已学的其他类似法则分化开来。例如初学幂的乘方法则，往往有的学生在算（a8）5时，误为a13，这显然是由于a8·a5的迁移影响，当要求他们严格按新法则进行时，就可分化开，抑制这类干扰。 提高运算速度，首先要逐渐减少想法则所花费的时间和精力，把注意力集中到计算。有人分析过（3a2bd+2ab）（4b2d＋2a3b）的二项式乘法运算，如果每一步都要明确地意识到有关法则，那就要想60～70次，就不可能快速运算。其次，要减少每一具体计算环节的时间。最熟练的运算，是一感知算式就立即直接得出答案，许多中间环节被简化。口诀及公式在运算技能形成中之所以能起重要作用，主要是压缩中间环节。 从意识到法则，到不用意识到法则是一个熟练的过程。有的研究认为，运算时意识到法则，是法则变式课题引起对法则的联想。联想中包括两个部分，第一部分是法则中涉及的“条件和任务”，第二部分是法则中的运算规定。例如“两个二项式相乘等于以一个二项式中的每一项乘另一个二项式的每一项”这个法则，前半部分“两个二项式相乘”是条件和任务，其余的是运算规定。从法则转化为运算技能，最初要明确意识到法则，即看到算式先联想起法则第一部分，但仅仅这样还不知如何算，于是又唤起联想中的第二部分，然后才一步步算。经过练习，看到算式只引起联想的第一部分，就产生“我会”的想法，而计算起来，是从条件任务直接接通到运算，不需引起第二部分联想。熟练时，看到算式就直接接通到计算，连法则第一部分也无须联想到，完全不用去意识法则了。所以有人认为，不用意识到运算法则是运算熟练的主要特点。 运算灵活性是能结合有关法则并合理应用它们。要达到这一点，起先也要明确地意识到这种结合的合理处理。例如计算“25×3＋44×2＋5×5-11×4”时，把四则混合运算法则与交换律结合，更合理地将算式处理为“25×3＋5×5＋44×2-11×4”，很快算出100＋44=144。经过练习，从最初明确地意识到此种结合，逐渐过渡到不用怎么意识到它也能自动化地作这种结合的处理，运算才能既快又灵活。
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