数论综合

列举出本讲2个知识难点：1)关于最小公倍数和最大公约数的应用；2）余数    

一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中分解质因数发挥着重要作用。

余数主要是求余数、剩余定理的应用（强调迭代解法）。

【例题】

1、数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?

    【分析与解】  360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=2^3×3^2×5；

    360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．

因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．

    我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,3^2,它们的和为(1+3+3^2),所以所有360约数的和为(1+3+3^2)×2y×5w；

    我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,2^2,2^3,它们的和为(1+2+2^2+2^3)，所以所有360约数的和为(1+3+3^2)×(1+2+2^2+2^3)×5w；

    最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+3^2)×(1+2+2^2+2^3)×(1+5)．

    于是,我们计算出值:13×15×6=1170．

    所以,360所有约数的和为1170．

    评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：

    I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后

所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)

   Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=2^3×3×5^3×7,所以21000所有约数的和为(1+2+2^2+2^3)×(1+3)×(1+5+5^2+5^3)×(1+7)=74880．

 

2、写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

   【分析与解】  一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为2^3×5^2×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)

    如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．    

    由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?

    18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．

补充：需要记住的是20以内的平方运算结果。 11×11=121,12×12=144,13×13=169,14×14=256，15×15=225,16×16=256,17×17=289,18×18=324，19×19=361。

 

3、有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?

   法一：（设时间，从路程差考虑）设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了l00x米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．

    即120x-100x,120x-70x,l00x-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．

    有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=10x,所以x=30．

    即在30分钟后,3人又可以相聚．

法二：可以直接从时间思考。我们知道甲第一次与乙相遇耗时：300÷（120-100）=15（分钟），乙第一次与丙相遇耗时：300÷（100-70）=10（分钟）。既然要求3人相聚，说明只需要求出15与10的最小公倍数即可，即[10，15]=30（分钟）。

【变题】：上题三人在同一地点，现三个人不在同一地点出发。

题目如下：有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走60米.甲乙丙按逆时针方向分布在一环形跑道的三等分点，3个人同时逆时针行走,圆形跑道周长是300米,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?
      【分析】：

甲第一次追上乙时，耗时：100÷（120-100）=5（分钟），而后再遇上乙时耗时：300÷（120-100）=15（分钟），因而甲追上一时时间可以写成：5+15m分钟（其中m=0，1，2，……）；

同样：乙第一次追上丙时，耗时：100÷（100-60）=2.5（分钟），而后再遇上丙时耗时：300÷（100-60）=7.5（分钟），因而乙追上丙的时间可以写成：2.5+7.5n分钟（其中n=0，1，2，……）；

      现要求三人相遇，即要求：5+15m=2.5+7.5n，变形后：3（n-3m）=1，很显然我们可以看出，这种情况是不存在的，故三人不可能相聚。

      评注:三人在同一地点出发，求三人相遇的问题。对于这样的问题，从时间角度出发，只要求出两两相遇的时间，而后求他们的最小公倍数即可。而若三人不在同一地点时，就需要对两两相遇时间进行单独分析，找出时间的重合点。若是三人的地理位置或是速度之间没有整数解得话，就有可能出现三人不会相遇的情况。

     4、（讲义例6，题目省略）
 

所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.

评注:给出求分数的最小公倍数的一般方法。求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；

求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.

5、甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？

   【分析与解】  有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积。即： [a,b]×(a,b)=ab
有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．

6、A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?

  【分析与解】  由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)=3×(N+1)个.

    12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=3^3×5^2=675．

    那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．

那么A,B两数的和为675+1875=2550．

 

7、(例5，题目省略)

【分析与解】  设这两数为a,b,记a=d·a1,b=d·b1．其中(a,b)=d，（a1,b1）=1.

它们的和为:a+b=d·al+d·b1=d·(a1+b1)=54………①

 它们的最大公约数与最小公倍数的差为：[a,b]-(a,b)=d·a1·b1-d=d·(a1b1-1)=114………②

     综合①、②知d是54,114的公约数,而(54，114)=6,所以d可以是1,2,3,6．

    第一种情况:d=1,则(a1+b1)=54,(a1·b1-1)=114,即a1·b1=115=5×23,无满足条件的a1,b1；

    第二种情况d=2,则(a1+b1)=27,(a1·b1-1)=57,即a1·b1=58=2×29,无满足条件的a1,b1；   

    第三种情况:d=3,则(a1+b1)=18,(a1·b1-1)=38,即a1·b1=39=3×13,无满足条件的a1,b1；  

    验证最后一种情况：d=6,则(a1+b1)=9,(a1·b1-1)=19,即a1·b1=20=2^2×5,最后求得a1=4,b1=5；

    所以,这个两个自然数a=d·a1=6×4=24,b=d·b1=6×5=30．

评注:求解关于两数时，若是结合最小公倍数和最大公约数时，一般要求我们同学学会设（ 设这两数为a,b,记a=d·a1,b=d·b1．其中(a,b)=d，（a1,b1）=1.），分别求出这些字母，所有的问题也就迎刃而解了。

 

8、求解2^2003+143^98除以7的余数。

【分析与解】 这是一道寻找周期的问题，或者认为是余数三大定理的应用（加法定理、乘法定理和同余定理）。

先求出2^2003÷7的余数：2÷7=……2；2^2÷7=……4；2^3÷7=……1；2^4÷7=……2；2^5÷7=……4；2^6÷7=……1;……
可知：每3个数形成1周期，则：2003÷7=……1,即求出2^2003÷7=……2；

同理解决143^98除以7的余数，注意的是143与3关于7同余（即143≡3，mod 7）,先将143^98进行转化为3^98，避免了计算麻烦：3÷7=……3；3^2÷7=……2；3^3÷7=……6；3^4÷7=……4；3^5÷7=……5；3^6÷7=……1;……。每6个数形成1周期，则：98÷7=……0,即求出143^98÷7=……1

由加法原理：（2^2003+143^98）÷7=……2+0=2.

评注:寻找周期，就是找余数是“1”，再数一数计算了几步就行；另外对于一些数发现计算比较麻烦时，可以利用“同余的定义”进行将“大数化小”。 

 

9、求7^2011÷31的 余数。

【分析与解】 这道问题寻找周期很麻烦，原因是只有32÷31=……2，而2^5=32。因而可以7^2011往2进行转化。

法一：

7÷31=……7，7^2÷31=……18，7^3÷31=……2；7^2010=7^(3×670)。所以求“7^2011÷31”的余数转化成“2^670×7÷31”的余数。

找周期（每5个一周期）：2÷31=……2；2^2÷31=……4；2^3÷31=……8；2^4÷31=……16；2^5÷31=……1。

670÷5=……0，即2^670×7÷31=……1×7=7.

法二：费马小定理：假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1)÷p=……1

得知：原来这一道题的周期是30。2011÷30=……1，所以7^2011÷31的余数就是7.

 

10、斐波那契数列第997项除以5的余数是多少？

【分析与解】 了解斐波那契数列的性质和余数性质。

找周期，除以5余数为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，……（每20个1周期）.

997÷20=……17，因而余数是2.

说明：斐波那契数列是个很有意思的一组数列，每一项是个整数，但是他的通项确是一个含有“√”的东西，具体的表示说明意思，以后再表。