六年级奥数：分解质因数

       一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.

　　质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….

例1 ○＋（□+△）=209.

　　在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.

　　解：209可以写成两个质数的乘积，即

     209＝11×19.

　　不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.

　　这个算式是 11×（17＋2）＝209，

　　11×（2＋17）＝ 209.

　　解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.

　　一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.

　　任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如

　　360＝2×2×2×3×3×5.

　　还可以写成360＝23×32×5.

　　这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.

例2 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？

　　解：我们先把5040分解质因数

　　5040＝24×32×5×7.

　　再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：

　　24×32×5×7＝7×8×9×10.

　　所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.

　　利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.

　　我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.

　　因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.

　　1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.

　　这里有4×2＝8个，即 （3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.

　　这个方法，可以运用到一般情形，例如，

　　144＝24×32.

　　因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.

例3 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.

　　解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.

　　（1）27＝128，符合要求，

　　37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.

　　（2）23＝8，

　　8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.

　　33＝27；

　　只有27×5＝135符合要求.

　　53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.

　　利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如

　　720＝24×32×5，168＝23×3×7.

　　那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是

　　23×3＝ 24.

　　在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是

　　24×32×5×7＝5040.

例4 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？

　　解：180＝22×32×5，

　　30＝2×3×5.

　　对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是

　　90＝2×32×5.

　　就知道另一数是

　　22×3×5＝60.

　　还有一种解法：

　　另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找

　　30， 60， 90， 120，….

　　这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.

例5 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？

　　解：把420分解质因数

　　420＝2×2×3×5×7.

　　为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是

　　1，3，4，5，7，12，15，20.

　　分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是