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本讲适用于初一、初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。 抖音号 “数学奥数思维拓展” 1059021292，持续更新的相关视频讲解。 一、知识点解析1. 公约数与最大公约数 整数a和b公有的约数，叫做a和b的公约数。公约数中最大的一个叫做最大公约数，记作d=(a,b). 类似地，若a1，a2，…，an是不全为零的整数，则它们的最大公约数记作 d=(a1, a2, …,an)。特别地，如果(a1, a2, …,an)=1，则称a1，a2，…，an是互质的数，简称互质或互素。注意互质的数和质数、两两互质的数这三个概念的区别。互质的数不一定是质数，也不一定是两两互质的数，但n个质数一定是互质的数，且是两两互质的数。 2. 公倍数和最小公倍数 整数a和b公有的倍数，叫做a和b的公倍数。其中最小的公倍数记作 [a,b]=m. 类似地，若a1，a2，…，an均是正整数，则它们的最小公倍数记作[a1，a2，…，an]=m. 注意符号(a,b)和[a,b]是用式子表示的一个数。 3. 最大公约数和最小公倍数的性质 （1）若a，b是正整数，(a,b)和[a,b]分别表示它们的最大公约数和最小公倍数，则有(a,b) [a,b]=ab. （2）若a，b是正整数，且(a,b)=d, [a,b]=m，则(ka,kb)=kd，[ka,kb]=km. （3）若a，b是自然数，且a-b>0，那么(a,b)=(a±b,b). 4. 求最大公约数和最小公倍数的方法 （1）将每个数分解成质因数的乘积，这些数中相同因数的最低次幂的积就是这些数的最大公约数。 （2）若有两个整数a，b (a≥b)，用b去除a，若不能整除，得余数r1，再用r1去除b，如仍不能整除，得余数r2，再用r2去除r1.。。。直到余数等于零为止，最后一个不为零的余数就是所求的a，b的最大公约数。这种方法叫辗转相除法，又叫欧几里得算法。 （3）将每个数分解成质因数的乘积，这些数中各质因数的最高次幂的乘积就是这些数的最小公倍数。 这部分主要考察学生的对最大公约数和最小公倍数的了解及掌握，这部分属于数论部分的综合知识，这部分需要对代数、因式分解有足够的知识了解，题型变化多，要夯实基础，才能保证在最大公约数和最小公倍数的学习上赶超别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。 二、例题例1 求48、60和72的最大公约数和最小公倍数。 例2 求5767和4453的最大公约数和最小公倍数。 例3 （“希望杯”初一数学竞赛试题） 23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少？ 例4 某自然数与24的最大公约数为4，与24的最小公倍数为168，求此数。 例5 已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个数。 例6 设r是最小的10个不同质数之积而ai=1+ir（i=1,2，…，10）。证明：a1, a2,…,a10两两互质。 例7 设n是满足下列条件的最小正整数，它是75的倍数且恰有75个正整数因子（包括1和本身），求n/75. 例8 （北京市初一竞赛题） 张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张。如果已知x、y、z的最小公倍数为60，x和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3。那么张华发出的新年贺卡是多少张？ |
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