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在初中三角形麻烦集中体如今“全等”和“类似”2大麻烦上，十分磨练各人的解题才能、思维才能、耐烦与定力。偶然证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。小编此次收拾整顿了全等三角形断定、性子，最重要的是前面附上了一切证实全等三角形，包含增加各类辅助线的办法，仔细看完这篇文章，包管关于三角形全等一切的题型你全都做！ 一、三角形全等的断定 1.三组对应边辨别相称的两个三角形全等(SSS)。 2.有双方及其夹角对应相称的两个三角形全等(SAS)。 3.有两角及其夹边对应相称的两个三角形全等(ASA)。 4.有两角及一角的对边对应相称的两个三角形全等(AAS)。 5.直角三角形全等前提有：斜边及一直角边对应相称的两个直角三角形全等(HL)。 二、全等三角形的性子 ①全等三角形的对应边相称；全等三角形的对应角相称。 ②全等三角形的周长、面积相称。 ③全等三角形的对应边上的高对应相称。 ④全等三角形的对应角的角中分线相称。 ⑤全等三角形的对应边上的中线相称。 三、找全等三角形的办法 (1)能够从结论动身，看要证实相称的两条线段（或角）辨别在哪两个或许全等的三角形中； (2)能够从已知前提动身，看已知前提能够肯定哪两个三角形相称； (3)从前提和结论综合思索，看它们能一同肯定哪两个三角形全等； (4)若上述办法均不可，可思索增加辅助线，结构全等三角形。 三角形全等的证实中包含两个要素：边和角。 缺个角的前提： 缺条边的前提： 四、结构辅助线的经常使用办法 1.关于角中分线的辅助线 当标题标前提中呈现角中分线时，要想到依据角中分线的性子结构辅助线。 角中分线具有两条性子： ①角中分线具有对称性； ②角中分线上的点到角双方的间隔相称。 关于角中分线经常使用的辅助线办法： (1)截取构全等 以下左图所示，OC是∠AOB的角中分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并衔接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证实线段、角相称发明了前提。 例：如上右图所示，AB//CD，BE中分∠ABC，CE中分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB CD。 提醒：在BC上取一点F使得BF=BA，保持EF。 (2)角分线上点向角双方作垂线构全等 采用角中分线上的点到双方间隔相称的性子来证实麻烦。以下左图所示，过∠AOB的中分线OC上一点D向角双方OA、OB作垂线，垂足为E、F，衔接DE、DF。 则有：DE=DF，△OED≌△OFD。 例：如上右图所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求证：∠ADC ∠B=180 (3)作角中分线的垂线结构等腰三角形 以下左图所示，从角的一边OB上的一点E作角中分线OC的垂线EF，使之与角的另一边OA订交，则截得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点D，该角中分线又成为底边上的中线和高，以采用中位线的性子与等腰三角形的三线合一的性子。 假如标题中有垂直于角中分线的线段，则延伸该线段与角的另一边订交，从而失掉一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。 例：如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。 求证：DH=（AB-AC） 提醒：延伸CD交AB于点E，则可得全等三角形。麻烦可证。 (4)作平行线结构等腰三角形 作平行线结构等腰三角形分为以下两种状况： ①以下左图所示，过角中分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE，从而结构等腰三角形ODE。 ②以下右图所示，经过角一边OB上的点D作角中分线OC的平行线DH与别的一边AO的反向延伸线订交于点H，从而结构等腰三角形ODH。 2.由线段和差想到的辅助线 （1）碰到求证一条线段即是另两条线段之和时，普通办法是截长补短法： ①截长：在长线段中截取一段即是另两条中的一条，然后证实剩下局部即是另一条； ②补短：将一条短线段延伸，延伸局部即是另一条短线段，然后证实新线段即是长线段。 截长补短法作辅助线。 在△ABC中，AD中分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。 由于AD是∠BAC的角中分线 以是∠BAD=∠CAD 在AB上作AE=AC 又AD=AD 由SAS得：△EAD≌△CAD 以是∠EDA=∠CDA,ED=CD 又由于∠CDA=∠B ∠BAD, ∠BDA=∠C ∠CAD, ∠C=2∠B 以是∠BDE=∠BDA-∠EDA =(∠C ∠CAD)-∠CDA =(2∠B CAD）-（∠B ∠BAD） =∠B 以是△BED为等腰三角形 以是EB=ED=CD 以是AB=AE EB=AC CD （2）关于证实有关线段和差的不等式，凡是会联络到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证实。 在采用三角形三边干系证实线段不等干系时，如间接证不出来，可衔接两点或廷长某边组成三角形，使结论中呈现的线段在一个或几个三角形中，再使用三角形三边的不等干系证实。 例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE. （法1）证实：将DE双方延伸辨别交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1） 在△BDM中，MB＋MD＞BD； （2） 在△CEN中，CN＋NE＞CE； （3） 由（1）＋（2）＋（3）得： AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC （法2）如图1-2， 延伸BD交 AC于F，延伸CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有： AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形双方之和大于第三边） （1） GF＋FC＞GE＋CE（同上） （2） DG＋GE＞DE（同上） （3） 由（1）＋（2）＋（3）得： AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。 （3）在采用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如间接证不出来时，可衔接两点或延伸某边，结构三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的地位上，小角处于这个三角形的内角地位上，再采用外角定理： 比方：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。 剖析：由于∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有间接的联络，可恰当增加辅助线结构新的三角形，使∠BDC处于在外角的地位，∠BAC处于在内角的地位。 证法一：延伸BD交AC于点E，这时候∠BDC是△EDC的外角， ∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC， ∴∠BDC＞∠BAC 证法二：衔接AD，并延伸交BC于F ∵∠BDF是△ABD的外角 ∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC。 留意：采用三角形外角定理证实不等干系时，凡是将大角放在某三角形的外角地位上，小角放在这个三角形的内角地位上，再采用不等式性子证实。 3.由中点想到的辅助线 在三角形中，假如已知一点是三角形某一边上的中点，那末开始该当联想到三角形的中线更加延伸中线及其相干性子（等腰三角形底边中线性子），然后经过探究，找到处理麻烦的办法。 (1)中线把原三角形分红两个面积相称的小三角形 即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC（由于ΔABD与ΔACD是等底同高的）。
例1 如图2，ΔABC中，AD是中线，延伸AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。 (2)倍长中线 已知中点、中线麻烦应想到倍长中线，由中线的性子可知，一条中线将中点所在的线段中分，可失掉一组等边，经过倍长中线又可失掉一组等边及对顶角，因此能够失掉一组全等三角形。如图，延伸AD到E，使得AD=AE，保持BE。
4.其他辅助线做法 (1)延伸已知边结构三角形 在一些求证三角形麻烦中，延伸某两条线段（边）订交，组成一个封锁的图形，可找到更多的相称干系，有助于麻烦的处理． 例4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的中分线．若A点到直线BD的间隔AD为a，求BE的长．
延伸AD、BC交于F, ∵∠DAE ∠AED=90°,∠CBE ∠BEC=90°,∠AED=∠BEC, ∴∠DAE=∠CBE, 又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC, ∴△ACF≌△BCE, ∴BE=AF, ∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD, ∴△ABD≌△FBD, ∴AD=FD=1/2AF, AD为a ∴BE=2a (2)衔接四边形的对角线，把四边形的麻烦转化成为三角形来处理。 比方：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。
剖析：图为四边形，我们只学了三角形的有关常识，必需把它转化为三角形全等来处理。 (3)衔接已知点，结构全等三角形 比方：已知：如图10-1；AC、BD订交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。 剖析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只要AB＝DC和对顶角两个前提，差一个前提，，难以证其全等，只要另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若衔接BC，则△ABC和△DCB全等，以是，证得∠A＝∠D。
(4)取线段中点结构全等三角形 比方：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。
剖析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，衔接NB，NC，再由SAS正义有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。上面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，衔接MN，则由SSS正义有△NBM≌△NCM，以是∠NBC＝∠NCB。麻烦得证。 |
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