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（2017江苏南通）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点．过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”． （1）等边三角形的“内似线”的条数为__________； （2）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求证：BD是△ABC的“内似线”． （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别在边AC，BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长． （重要说明：从9月9日开始，不定期发布多篇（最多8篇）文章，可依次点击“标题”阅读相应的文章。如果您想学习几何画板制作课件，请详细阅读文章末尾的说明.） 【图文解析】 （1）简析：因原三角形是等边三角形，所以被两交点之间的线段所划分的两个图形中必须有一个是等边三角形，才能满足条件，因此过内心与三边平行的线段即可满足条件，如下图示，因此答案选3. （2）如下图示，根据等腰三角形的性质，不难得到△BDC和△ABC中的两个内角相等，从而得到△BDC∽△ABC，同时也不难得到BD平分∠ABC，因此BD是△ABC的“内似线”． 说明：本题图形是课本中的一道例题，原题是求△ABC的三个内角度数（此三角形可称为黄金三角形，由题中所设，根据三角形的内角和定理，即可求出各内角的度数为360，720，720）. （3）先画出符合题意的图形，显然有两种情况，如下图示： 其实这两种情况，答案相同，原因是： 可以通过全等证明，也可以直接利用角平分线的对称性（因I是内心）说明。 因此，只需求第一种情况中的EF的长，就可以直接通过证明说明第二情况的E’F’的长。作为解析试题，本文也分析第二种情况的一般求法。 先求出内切圆的半径（设为r）. 显然(4－r)+(3－r)＝5，解得r=1 或： 因S△AIC+ S△AIB+ S△BIC＝S△ABC，由面积公式得：(3＋4＋5)·r＝×3×4，解得：r=1. 下面解析第一种情况： 情况一的EF的求法多种，现在详细分析其中的常用的三种，其他方法大同小异，这里略去： 法一：如下图示， 由∠1＝∠A得：sin∠1＝sin∠A，根据三角函数的定义得：r/EI=3/5，得到EI＝5/3×r=5/3.同理FI＝5/4，所以EF＝EI+FI＝…＝35/12. 法二：先由sinA=1/AE=3/5得到AE＝5/3，所以CE＝4-5/3＝7/3，因此EF＝CE/cos∠1＝CE/cos∠A＝…＝. 法三：如下图示，先求出Rt△ABC的斜边AB上的高CD＝2.4，再利用EF∥AB，得到△CEF∽△CAB，根据“两相似三角形的对应高的比等于相似比”，又得到：EF/5＝1.4/2.4，…….
情况二，如下图示，类似上述的解法一：
由∠1＝∠B得：sin∠1＝sin∠B，根据三角函数的定义得：r/E’I=4/5，得到E’I＝5/4×r=5/4.同理F’I＝5/3，所以E’F’＝E’I+F’I＝…＝35/12. 【反思】本题从题干（基本图）到结论，再解法思路、技巧都是最常见的，此类题目往往有多种类似的解法，其中灵活运用三角函数的定义解题，往往会给书写带来方便. |
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