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方法梳理 当图形背景中出现了中点时，可以采取倍长中线或作平行线的方式构造全等三角形，从而进行线段或角的转化。(方法来源：证明距离19.2(6)例题11)  当图形背景中出现了不在一直线上线段的等量关系、或角的倍半或角平分线背景时，可以采取“截长补短”的方法构造全等三角形，达成线段或角的转化。(方法来源：证明距离19.2(6)练习2)    图形旋转背景下的辅助线 对于图形的旋转要找准旋转中心和旋转角，尽管图形在运动，但是旋转后图形的对应边、对应角是不变的，旋转后往往由于边(角)的等量关系，会产生丰富的等腰三角形和等角。  解法分析：本题的第(1)问是点C旋转到AB上的特殊情况，由于图中有着较多的60°角，因此会产生较多的等边三角形，借助等腰三角形的性质和三角形的内外角和，可以较容易地得到AD=A'D.  本题的第(2)问是较一般的情况，要证明AD=A'D，则需要构造全等三角形。根据角的数量关系，可以得到∠ACD=∠A'C'D，由这个等量关系，可以通过“截取或延长”的方式进行辅助线的添加，从而构造全等三角形。   本题的第(3)问是A、C'、A'三点共线的情况，先根据题意画出图形，再根据图形进行进一步地分析。   解法分析：本题的第(1)问是B、C、D在一直线上的特殊情况。第①问根据邻补角的意义，可以较快地进行证明。第②问是证明∠AEF=60°，此时可以联想构造以AE为一边的等边三角形，由于F为BD的中点，因此“倍长中线法”是首选的证明方法，倍长EF=FP后，需要联结AP和BP，从而构造等边三角形。 第(2)问中尽管旋转▲CED后，使得B、C、D不在一直线上，但是问题解决的思路和辅助线的添线方法还是一致的。问题的难点在于证明∠ABP=∠ACE，可以通过引入新的未知数来表示这两个角。 点在线段或其延长线上的辅助线 对于点在线段或其延长线上的问题，需要仔细审题，即关注哪个点是动点，其运动的范围是线段、射线还是直线，此类问题的难点在于分类讨论，即根据不同的位置画出不同的图形，但是“万变不离其宗”，尽管图形发生了变化，但是问题解决的思路和辅助线的添线方法还是不变的。 解法分析：本题的第(1)问是E在线段AB上的特殊情况，也就说明了第(2)问E可能在线段AB的延长线上。第一问要证明BD=AE，但是BD所在的▲BDE显然和AE所在的▲ACE不全等，因此需要添加辅助线构造全等三角形。由▲ABC是等边三角形，因此可以过点E作边BC或边AC的平行线，或者在边AC和边BC上截取与AE相等的线段，从而构造全等三角形。注：若采用截取的方法构造全等三角形，还需要证明截得的三角形是等边三角形，不然无法实现线段的转化。 本题的第二问需要分类讨论，由于E是动点，因此根据E在线段AB或其延长线上进行分类讨论，根据题意画出图形。由于问题解决的方法是一致的，因此可以延用第一问的解题思路求CD的长度。 |
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