解题研究 | 特殊化：线段之比问题求解的有效路径

作者信息

胡梦迪¹，段志贵²

1.南京师范大学教师教育学院，江苏  南京  210023

2.盐城师范学院数学与统计学院，江苏  盐城  224002

摘要

线段之比的求解，常常因为比值未知而让人陷入思维困境。特殊化策略是突破学生思维困境的有效路径，主要包括图形形状特殊化、动点位置极端化以及图形形状和取点位置均特殊化三类。特殊化在于帮助思考，并不代替一般化推理（或证明）。解决这类问题一般有三个步骤：首先通过特殊化思考问题，探求比值；其次，根据比值找到一般化求解的方向；最后，在一般情况中得出问题结论。

关键词：特殊化；线段之比问题；初中几何

中国分类号：G634.6

初中几何中有一类求解线段之比的问题，因比值未知、图形灵活复杂，是学习的难点，解决这类问题的一条有效路径是特殊化。所谓特殊化是指将研究对象或问题从一般状态转化为特殊状态进行考察和研究，^[1]常常表现为从范围较大的问题过渡到一个范围较小的问题或它的子问题。特殊化解题方法是突破解题瓶颈、探求解题思路的一种常用方法。^[2]在求解线段之比问题中，特殊化可以帮助我们求得定值，还可以给予我们一般化求解的方向。

一问题呈现析题意

如图1，已知两正方形ABCD，BEFG，求的值。

求两条线段的比，直觉上可以用构造相似三角形的方法，但是如何构造相似三角形呢?这里的困难就在于变化因素太多，七个点A，B，C，D，E，F，G的位置都不是固定的。进一步审题发现，尽管两个正方形的大小和位置在变化，但和的值都有一定的联系，因此可以用动态的、运动的观点观察本题，这是本题的第一个关键思维节点。

首先尝试使正方形ABCD固定不动，将正方形BEFG动态化(固定正方形BEFG，将正方形ABCD动起来是一样的效果)。任意改变正方形BEFG的大小和位置，在正方形BEFG“动起来”的过程中，发现有一些特殊的位置，例如正方形BEFG的某一边和正方形ABCD某一边在同一直线上，正方形BEFG某一边和正方形ABCD某条对角线在同一直线上等等。由此想到用特殊化法，从一般情况“退”到特殊情况，寻找特殊位置求解，这是本题的第二个关键思维节点。

二特殊位置巧入手

特殊位置可以有多种取法，如图2所示，在此不一一列举。

在每一个特殊位置的情况下，都不难发现.至此，用特殊化法已经猜出了本题的答案，但是在解答题中，必须进行一般性的证明，而特殊化法为一般性证明指明了方向。

由特殊化法猜出的答案，容易联想到正方形的边长与对角线之比也为，结合初步直觉，就可以利用两个正方形的边长和对角线构造相似比为的相似三角形，从而利用相似三角形性质求得两条线段的比。由此，添加辅助线BD，BF，如图3所示

三特殊化法再思量

有了特殊化法对线段之比问题的初步运用，在此经验上拓展运用，从而发生思想方法的迁移，实现高层次的认知结构迁移。

类型一:图形形状特殊化

(武汉市2022年中考23题)如图4所示，在△ABC中AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE=DB，延长ED交AB于点F，探究的值。

分析由AD=CD，且对顶角∠ADF和∠CDE相等，联想到添加辅助线构造全等三角形。

因此，如图5所示，过点C作CG∥BA交DE与点G，可证得△ADF≌△CDG(∠ADF=∠CDG，AD=CD，∠A=∠DCG).

又易证△CGE∽△BFE，

从而现在所求目标转化为求的值．下面分析如何求的值。

特殊化法考虑将AB=AC，DE=DB与联系起来。将等腰△ABC特殊化为等边三角形，如图6所示，易得△DCE是等腰三角形，

 

下面证明这一结论。受特殊化法求得的且D为线段的AC中点启发，联想到添加三角形中位线。

如图7所示，取线段BC的中点H，连接DH，则DH∥AB，

综上所述，题目所求

类型二:动点位置极端化

如图8，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC中点，点P是MN上的任意一点，延长BP和CP，交AC，AB于点E，F.求的值。

分析：采用特殊化法，取P点为临界位置，如图9所示，当点P与点M重合时，F，E分别与M，A重合，此时

求出了这个定值，进行一般性的证明就有了明确的目标．如图10所示，过点A作BC的平行线与CF，BE分别交于点H，点K。

类型三:图形形状和取点位置均特殊化

如图11，△ABC三边上的高分别为ha，hb，hc，三角形内任一点P至三边的距离分别为da，db，dc，求的值。

分析采用特殊化法如图12所示将△ABC特殊化为等边三角形，此时三角形的内心、外心、重心、垂心重合，为正三角形的中心，将P取为三角形的中心，则

求出这个定值，就启发我们利用三角形面积公式一般性求解，所以

 

四总结概括悟思想

回顾线段之比问题的求解过程，解题关键看似是如何利用中位线性质或相似三角形性质添加辅助线从而构造相似(全等)三角形，但其实如何从一般的、变化因素太多的问题过渡到变化因素较少的问题或者原问题的子问题才是关键，特殊化思想方法正是解开此类题目的钥匙。几何问题中常见的特殊化方法有将图形形状特殊化、将图形位置特殊化^[3]以及图形形状和图形位置均特殊化。图形形状特殊化包括将三角形特殊化为等腰三角形、直角三角形、等边三角形;四边形特殊化为平行四边形、矩形、菱形、正方形；圆、三角形、四边形极端化为一点等。图形位置特殊化包括点取线段中点或端点，取具有特殊性质的点如内心、重心、外心、垂心;线取角平分线、平行线、垂线等等。

特殊化是思考问题的方法，并不是解决问题的方法，不能代替一般化证明的过程，解决问题时必须要从特殊推广到一般性问题，否则会因推理过程不严密而发生错解、漏解的情况。在线段之比问题中，通过思考特殊化后较为简单的几何图形，明确一般化求解的方向，再向一般化问题行进，证明得到答案。也就是说，解决这类问题一般有三个步骤：首先通过特殊化思考问题，探求比值；其次，根据比值找到一般化证明的方向；最后，在一般情况中证明结论。

参考文献

（本文发表在《中学生数学》2023年2下半月上，欢迎引用：[1]胡梦迪，段志贵.特殊化:线段之比问题求解的有效路径[J].中学生数学，2023，No.700(04):14-16.）

本文系原创，转载请注明出处，并加注作者姓名、单位。

作者 | 胡梦迪   段志贵

编辑 | 顾家豪