初三数学：等腰直角三角形为基础，旋转构成四边形关系题型

等腰三角形为基础的旋转相关问题，是初三数学中考（升学考试）后三道常考题型。解决这类型题目能力，也是中等生与优等生差距所在。

【典例探究】

例1 已知，如图1，正方形ABCD和正方形BEFG，三点A、B、E在同一直线上，连接AG和CE，

（1）试确定线段 AG和线段CE有什么关系？并说明理由．

（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．

（3）若在图2中连接AE和CG，且AE=7，CG=3，求正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和．

（2）由特殊推广到一般位置，方法类似（1），由SAS证明△ABG≌△CBE，得出AG=CE，由角的互余关系得出∠2+∠BCE=90°，得出∠AHC=90°，得出AG⊥CE；

（3）连接AC、EG，设AG、CE交点为H，由（2）得AG⊥CE，由勾股定理求出AC^2+EG^2=CG^2+AE^2，求出AC^2+EG^2，然后由正方形的面积等于对角线平方的一半求解即可．

解答：（1）AG=CE，且AG⊥CE．理由如下：

延长AG交CE于H，如图1所示：

∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，

∴AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，∴△ABG≌△CBE（SAS），

∴AG=CE，∠BAG=∠BCE，

∵∠BCE+∠BEC=90°，∴∠BAG+∠BEC=90°，

∴∠AHE=90°，∴AG⊥CE；

（2）AG=CE，且AG⊥CE仍然成立．理由如下：

如图2所示：

∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，

∴AB=CB，BG=BE，∠ABC=∠EBG=90°，

∵∠ABG=∠ABC+∠CBG，∠CBE=∠EBG+∠CBG，

【学以致用】

1.已知，如图1，正方形ABCD和正方形BEFG，三点A、B、E在同一直线上，连接AG和CE，

（1）判定线段AG和线段CE的数量有什么关系？请说明理由．

（2）将正方形BEFG，绕点顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）若在图2中连接AE和CG，且AE=2CG=4，求正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为 _______.

2. 在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F．BE与FC相交于点H．

（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：_________.

【答案解析】

1.分析：（1）根据正方形的性质可得AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，然后利用“边角边”证明△ABG和△CBE全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）先求出∠ABG=∠CBE，然后利用“边角边”证明△ABG和△CBE全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；