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（2017·广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）连接AE，若AB=6cm，BC=根号5cm． ①求sin∠EAD的值； ②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间． （重要说明：从9月9日开始，每天不定期发布多篇（最多8篇）文章，可依次点击“标题”阅读相应的文章。如果您想学习几何画板制作课件，请详细阅读文章末尾的说明.） 【图文解析】 （1）简析：由矩形的性质，可得： 由轴对称图形的性质，可得： 所以四边形CODE是菱形． （2）①图中有很多相等的线段和平行的线段及直角，可充分利用平行线的性质(含平行线分线段成比例定理)进行转化，同时求一个角的三角函数的值，必须构造含这个角的直角三角形.方法多种，现仅举两种方法解析。 法一：设AE交CD于K．如下图示： 由DE∥AC可得：DK：KC=DE：AC=1：2，所以DK=1/3DC=1/3AB=2.在直角三角形ADK中，如下图示，进一步，得到： 法二：如下图示， 再根据勾股定理求出AE的长，……. ②根据题意，所用的总时间为： “当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时”就是OP+2/3PA最短。如下图示： 求“OP+2/3PA最短”经常转化为“两线段的和最短”或者建立函数转化为函数的“最值“问题(本题也可，但涉及到“两点间距离公式”，这里略去解析，有兴趣的朋友可以试试——当然应先建立坐标系)，然后利用“两点之间线段最短”或者“垂线段最短”.注意到其中的“2/3”，而恰好上述①结论“sin∠DAE=2/3”(当然若没有这个结论，可以建立一直角三角形，使其中一角的某个的三角函数值等于2/3，显然难度加大，但思路一样)，因此，可以这样添加辅助线：作PH⊥AD于H．如下图示： 问题就转化为求OP+PH的最小值. 根据“垂线段最短”，显然当O、P、H三点共线时，OP+PH的值最小(为OH的长)，如下图示，此时OH是△ACD的中位线， 所以OH=1/2CD=3．AH=1/2AD=根号5的一半，PH=1/2DK=1，根据勾股定理，可得：
所以当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为3/2，点Q走完全程所需的时间为3s． 【反思】如何将“非常规形式”的问题转化为“基本模式的图形”，是解决本题的关键，注意体会其中的解题思路，做到：会一道通一类。 |
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