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（2017·深圳倒二）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH=2，CH=4． （1）求⊙O的半径r的长度； （2）求sin∠CMD； （3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE·HF的值． 【图文解析】 （1）简析： 方法一：如下图示， 在Rt△COH中，由勾股定理，得：r2=42+（r﹣2）2，解得：r=5． 方法二：如下图示， 不难得到∠A＝∠1。分别在Rt△ACH和Rt△BCH中，由tan∠A＝CH/AH＝CH/BH＝tan∠1得：4：2＝（2r－2）：4，解得r=5. 方法三：如下图示， 通过△ACH∽DBH，得到AH：DH＝CH：BH，即2/4＝4/（2r－2）……. （2）如下图示，点M在运动过程中，∠CMD的度数始终保持不变。 由于∠CMD无法确定具体的度数， 因此要求sin∠CMD的值，必须建立一个含“与∠CMD相等”的角的直角三角形，然后通过三角函数的定义求出。 法一：根据圆周角定理和相关结论，可添加如下图所法的辅助线，得到直角. 不难证明sin∠CMD＝sin∠CPD.同时在Rt△CPD中，sin∠CPD＝CD/PD，如下图示： 所以sin∠CMD=sin∠COA=4/5. 法二：根据圆周角定理，可以将∠CMD转化为圆心角，如下图示： 由CD⊥AB，AB为直径，根据垂径定理和等腰三角形的性质，不难得到∠CMD=0.5∠COD=∠AOC.所以sin∠CMD=sin∠COA=CH/OC=4/5.如下图示： （3）如下图示， 本题图形繁杂，务必分清哪些是我们所需要的线，同时我们要求的是“HE·HF的值”是一个乘积式，这种形式的值的求法往往通过“相似”或“面积”或“函数”等转化，显然本题后两种解决起来困难重重，因此通过“相似”转化为“比例式”，如下图示：
不难证明△MHE∽△FHN，得到HE/HN=HM/HF，根据比例性质，可得到HE·HF=HM·HN(这时已经转化到圆中的相关线段的乘积形式). 类似地，继续将HM·HN转化其他乘积式(往已知方向转化)，如下图示，
不难证明△AMH∽△NBH，得到HE/HN=HM/HF，根据比例性质，可得到AH·BH=HM·HN. 综上所述，可得：HE·HF=AH·BH=2×8=16. 【反思】常用“相似”将“乘积式”转化为“比例式”的数学思想是解决相似相关问题的重要方法，解题时，可尽量将未知量(或所求的量)往已知图形或已知量方向进行转化． |
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