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三角函数的无穷乘积与分式级数

2018-08-07  toujingsh...

(一)正弦函数的无穷乘积:

           sin(x)=xΠ(n=1…∞)[1-x2/n2π2]

(二)余切函数的分式级数:

       cot(x)=Σ(n=-∞…)[1/(x-nπ)]
               =1/x+Σ(n=1…∞)[(2x)/(x2-n2π2)]

(三)余弦函数的无穷乘积:
      cos(x)=Π(n=-∞…)[1-x/(n-1/2)π]
             =Π(n=1…)[1-4x2/(2n-1)2π2]
(四)正切函数的分式级数:
       tan(x)=Σ(n=-∞…∞)(-1)/[x-(n-1/2)π]
               =Σ(n=1…∞)[(-2x)/[x2-(n-1/2)2π2]
 
 
(五)正切函数的无穷乘积:
       tan(x)=xΠ(n=1…)[1-4x2/n2π2](-1)^n
(六)余割函数的分式级数:
      1/sin(x)=Σ(n=-∞…)[(-1)n/(x-nπ)]

 

(七)三角函数与普西函数:

      Σ(k=0…∞)[1/(k+a+z)-1/(k+1-a-z)]

      =ψ(1-a-z)-ψ(a+z) (零点对应的是弦函数)

      =πcot(πa+πz)     (也可以用弦函数求之)

      =π/sin(2πa+2πz)+πcot(2πa+2πz)

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