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（2017·湖北武汉）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E． （1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED·EA=EC·EB； （2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=3/5 CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积； （3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC=3/5，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示） 【思路解析】 本题给出的条件中有三角函数和边长，在解题时就应该利用三角函数和已知的边长求出另外的边长，继而进行解题。三角函数的计算要在直角三角形中进行，因此借助辅助线构造直角三角形就是本题的解题关键。 在第三小题中，题中给出的是三角函数值和字母表示的边长，三角函数表达的是边的比值，因此可以用字母表达出另外一条线段，而后再建立方程。 【图文解析】 （1）只要证明△EDC∽△EBA，可得ED/EB=EC/EA，即可证明ED·EA=EC·EB （2）如下图示， 过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G.在Rt△CDF中，利用三角函数可以求出DF=3，CF=4，利用S△CDE=6可以求出ED=3. Rt△ABG中，BG=AB/2=6，AG=6×根号3,再得出： △EFC∽△EGA，EF/EG=CF/AG，EG=9×根号3，BE=EG﹣BG=9×根号3﹣6，所以S四边形ABCD=S△ABE﹣S△CDE=75﹣18×根号3. （3）如下图示， 作CH⊥AD于H，tan∠E=4/(n+3),作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a，可得FG=DF﹣DG=5+n﹣3a，易证△AFG∽△CEH，利用AG/CH=FG/EH，可以得到关于n和a的等式：4a/(5+n-3a)=4/(n+3),得到a=（n+5）/(n+6)，由此得出AD=5a=5(n+5)/(n+6). 【反思】 本题考查的主要是解直角三角形知识和三角形相似问题。解直角三角形可以为我们提供三角形中边的条件和角的条件，利用三角形相似可以建立方程，表达出变量之间的关系。 【拓展】 两个三角形重叠在一起可以推广出很多的题目，例如： 如图，若E、F分别是△ABC两边AB、AC上的点，且 AE=mEB，AF=nFC，线段BF、CE相交于点P，则CP/PE= . 解析：如下图示， 连结EF，S△BCF/S△BEF=CP/PE,又S△BCF=S△ABC/(n+1)，那么S△ABF=nS△ABC/(n+1)，S△BCF=S△ABF/n，S△BEF=S△ABF/(m+1)，进而得出CP/PE=(m+1)/n. |
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