昵称为”heartbeats'的读者朋友问到了函数的不动点问题.
看栗子. 1.求函数f(x)=2x-1的不动点和稳定点. 求不动点.令2x-1=1,解答x=1.所以函数f(x)的不动点是1. 求稳定点.令2(2x-1)-1=1,解得x=1.所以函数f(x)的稳定点是1. 2.求函数f(x)=-x的不动点和稳定点. 求不动点.令-x=x,解得x=0.所以函数f(x)的不动点是0. 求稳定点.令-(-x)=x,方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意实数. 3.求函数f(x)=-1/x的不动点和稳定点. 求不动点.令-1/x=x,方程无解.所以函数f(x)没有不动点. 求稳定点.令-1/(-1/x)=x,方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意不为零的实数. 咦,怎么有时不动点和稳定点一样,有时又不同呢? 为回答这个疑惑,我们讲两个小结论. 1 不动点一点是稳定点,稳定点不一定是不动点 先证明前半句话. 再证明后半句话.举个反例即可. 比如2是函数f(x)=-x的稳定点,但不是函数f(x)=-x的不动点.(就是上面第2个函数的例子) 2 若函数f(x)单调递增,则它的不动点和稳定点等价 下面做等价条件的证明. 3 高考题实战 2013年四川高考理科数学卷第10题. 本题是选择压轴题,考察了函数的稳定点问题. 经过简单分析发现,函数f(x)为单增函数,所以我们可以把稳定点问题转化为不动点问题. |
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