数海拾贝

一类特殊函数的稳定点

2015年09月23日 kafang 数海拾贝

定义    一般地，对于定义在区间D上的函数y=f(x)，若存在x0∈D，使得f(x0)=x0，则称x0是函数y=f(x)的一阶不动点，简称不动点；若存在x0∈D，使f(f(x0))=x0，则称x0是函数y=f(x)的二阶不动点，简称稳定点．

从代数角度看，一阶不动点是方程f(x)=x的根，二阶不动点为方程f(f(x))=x的根；从几何角度看，一阶不动点是曲线y=f(x)与直线y=x的交点的横坐标，二阶不动点是曲线y=f(x)与曲线x=f(y)的交点的横坐标（曲线y=f(x)上关于直线y=x对称的点的横坐标）．

显然函数y=f(x)的不动点一定是函数y=f(x)的稳定点，但函数y=f(x)的稳定点不一定是不动点．如图所示：

其中点A，B的横坐标为函数y=f(x)的不动点和稳定点，C，D的横坐标为函数y=f(x)的稳定点，但不是不动点．

那什么时候稳定点与不动点是一致的呢，下面给出一个判定定理：

引理　若f(x)是定义域上的单调函数，则它的稳定点必然是它的不动点．

我们以f(x)是增函数为例给出证明：

设x0是f(x)的稳定点，则f(f(x0))=x0．

若f(x0)>x0，由f(x)为增函数知f[f(x0)]>f(x0)=x0,

矛盾．

若f(x0)x0，同理可以导出矛盾．所以有f(x0)=x0.

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有了这个引理，如果一个函数在定义域上是单调的，那么稳定点就可以直接看成不动点，问题便可大大简化，如2013年四川卷理科数学第 10题（选择压轴题）：

设函数f(x)=√ex+x?a（a∈R，e为自然数）．若曲线y=sinx 上存在(x0,y0) 使得f(f(y0))=y0，则a 的取值范围是_______．

解    因为f(x)?0，f(f(y0))=y0，所以y0?0．因为(x0，y0)是y=sinx上的点，所以y0∈[0,1]．

函数f(x)=√ex+x?a在其定义域上单调递增，所以稳定点y0即为不动点，故本题转化为函数f(x)存在区间[0,1]上的不动点，即方程f(x)=x在[0,1]上有解．方程可整理为a=ex+x?x2(x∈[0,1]).

设g(x)=ex+x?x2，则g′(x)=ex+1?2x,

在x∈[0,1]上，ex∈[1,e]，1?2x∈[?1,1]，所以g′(x)=ex+1?2x?0,

所以g(x)在[0,1]上单调递增，所以g(x)∈[1,e]．

故方程a=ex+x?x2(x∈[0,1])有根，a∈[1,e]．

更多关于稳定点的问题参见每日一题[35]二阶不动点．

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