§2.11 函数的零点与方程的解考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理,并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 知识梳理 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 常用结论 1.若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至多有一个零点. 2.连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × ) (2)连续函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.( × ) (3)函数y=f(x)为R上的单调函数,则f(x)有且仅有一个零点.( × ) (4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.( √ ) 教材改编题 1.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是( ) 答案 A 解析 由图象可知,B,D选项中函数无零点,A,C选项中函数有零点,C选项中函数零点两侧函数值符号相同,A选项中函数零点两侧函数值符号相反,故A选项中函数零点可以用二分法求近似值,C选项不能用二分法求零点. 2.函数y=-ln x的零点所在区间是( ) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 答案 B 解析 因为函数的定义域为(0,+∞),且函数y=在(0,+∞)上单调递减;y=-ln x在(0,+∞)上单调递减, 所以函数y=-lnx为定义在(0,+∞)上的连续减函数, 又当x=2时,y=-ln 2>0; 当x=3时,y=1-ln 3<0, 两函数值异号, 所以函数y=-lnx的零点所在区间是(2,3). 3.函数f(x)=ex+3x的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 由f′(x)=ex+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点. 题型一 函数零点所在区间的判定 例1 (1)函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的区间是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 答案 B 解析 由题意得,f(x)=lnx+2x-6,在定义域内单调递增, f(2)=ln 2+4-6=ln 2-2<0, f(3)=ln 3+6-6=ln 3>0, 则f(2)f(3)<0, ∴零点在区间(2,3)上. 延伸探究 用二分法求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值,至少经过________次二分后精确度达到0.1( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 C 解析 ∵开区间(2,3)的长度等于1, 每经过一次操作,区间长度变为原来的一半, 经过n次操作后,区间长度变为, 故有≤0.1,解得n≥4, ∴至少需要操作4次. (2)(2023·蚌埠模拟)已知x1+=0,x2+log2x2=0,-log2x3=0,则( ) A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3 C.x1<x3<x2 D.x2<x3<x1 答案 A 解析 设函数f(x)=x+2x,易知f(x)在R上单调递增, f(-1)=-,f(0)=1,即f(-1)f(0)<0, 由函数零点存在定理可知,-1<x1<0. 设函数g(x)=x+log2x, 易知g(x)在(0,+∞)上单调递增,g=-,g(1)=1, 即gg(1)<0, 由函数零点存在定理可知,<x2<1, 设函数h(x)=x-log2x, 易知h(x)在(0,+∞)上单调递减,h(1)=,h(x3)=0, 因为h(1)>h(x3), 由函数单调性可知,x3>1, 即-1<x1<0<x2<1<x3. 思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 跟踪训练1 (1)(多选)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间内必有零点( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 答案 AD 解析 f(-2)=>0,f(-1)=-1<0, f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0, f(2)=e2-4>0, 因为f(-2)·f(-1)<0,f(1)·f(2)<0, 所以f(x)在(-2,-1)和(1,2)内存在零点. (2)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)·(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 答案 A 解析 函数y=f(x)是开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a<b<c,则a-b<0,a-c<0,b-c<0,因此f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0. 所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0, 即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点. 题型二 函数零点个数的判定 例2 (1)若函数f(x)=|x|,则函数y=f(x)-|x|的零点个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 D 解析 在同一平面直角坐标系中作出f(x)=|x|,g(x)=|x|的图象如图所示,则y=f(x)-|x|的零点个数,即f(x)与g(x)图象的交点个数,由图可知选D. (2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x),且在区间[0,7]上只有x=1和x=3两个零点,则f(x)=0在区间[0,2 023]上根的个数为( ) A.404 B.405 C.406 D.203 答案 C 解析 因为f(2+x)=f(2-x),f(x)关于直线x=2对称且f(5+x)=f(-x-1); 因为f(7+x)=f(7-x),故可得f(5+x)=f(-x+9); 故可得f(-x-1)=f(-x+9),则f(x)=f(x+10), 故f(x)是以10为周期的函数. 又f(x)在区间[0,7]上只有x=1和x=3两个零点, 根据函数对称性可知,f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点, 又区间[0,2 023]内包含202个周期, 故f(x)在[0,2 020]上的零点个数为202×2=404, 又f(x)在(2 020,2 023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同,有2个. 故f(x)在[0,2 023]上有406个零点, 即f(x)=0在区间[0,2 023]上有406个根. 思维升华 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)有多少个零点; (2)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等; (3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 跟踪训练2 (1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)=则关于x的函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点的个数为( ) A.3 B.7 C.5 D.6 答案 B 解析 根据题意,令2f2(x)-3f(x)+1=0, 得f(x)=1或f(x)=. 作出f(x)的简图如图所示, 由图象可得当f(x)=1和f(x)=时, 分别有3个和4个交点, 故关于x的函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点的个数为7. (2)函数f(x)=·cos x的零点个数为______. 答案 6 解析 令36-x2≥0,解得-6≤x≤6, ∴f(x)的定义域为[-6,6]. 令f(x)=0得36-x2=0或cosx=0, 由36-x2=0得x=±6, 由cosx=0得x=+kπ,k∈Z, 又x∈[-6,6],∴x的取值为-,-,,. 故f(x)共有6个零点. 题型三 函数零点的应用 命题点1 根据零点个数求参数 例3 (2023·黄冈模拟)函数f(x)=g(x)=kx-3k,若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点,则实数k的取值范围为( ) A.(2-6,0) B.(2-6,0) C.(-2,0) D.(2-6,0) 答案 D 解析 作出函数f(x)=的图象,如图所示, 设与y=4-x2相切的直线为l, 且切点为P(x0,4-x), 因为y′=-2x,所以切线的斜率为k=-2x0, 则切线方程为y-4+x=-2x0(x-x0), 因为g(x)=kx-3k过定点(3,0),且在切线l上, 代入切线方程求得x0=3-或x0=3+(舍去), 所以切线的斜率为k=2-6, 因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点, 由图象知,实数k的取值范围为(2-6,0). 命题点2 根据函数零点的范围求参数 例4 (2023·北京模拟)已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是( ) A. B. C.(-∞,0) D. 答案 B 解析 由f(x)=3x-=0,可得a=3x-, 令g(x)=3x-,其中x∈(-∞,-1), 由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0, 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域. 由于函数y=3x,y=-在区间(-∞,-1)上均单调递增, 所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增. 当x∈(-∞,-1)时, g(x)=3x-<g(-1)=3-1+1=, 又g(x)=3x->0, 所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为. 因此实数a的取值范围是. 思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解. 跟踪训练3 (1)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( ) A.0<a<3 B.1<a<3 C.1<a<2 D.a≥2 答案 A 解析 因为函数y=2x,y=-在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=2x--a在(0,+∞)上单调递增, 由函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内得,f(1)×f(2)=(2-2-a)(4-1-a)=(-a) ×(3-a)<0,解得0<a<3. (2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)=若g(x)=f(x)-a有3个零点,则实数a的取值范围为( ) A.(-1,0) B. C. D.∪{-1} 答案 B 解析 设h(x)=(x>0), 则h′(x)=, 令h′(x)>0,得0<x<e, 令h′(x)<0,得x>e, 所以函数h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减. 所以h(x)max=h(e)=. 因为函数g(x)=f(x)-a有3个零点, 所以方程f(x)=a有3个解. 作出函数y=f(x)和y=a的图象如图所示, 所以a的取值范围为. 课时精练1.(2022·焦作模拟)设函数f(x)=2x+的零点为x0,则x0所在的区间是( ) A.(-4,-2) B.(-2,-1) C.(1,2) D.(2,4) 答案 B 解析 易知f(x)在R上单调递增且连续,f(-2)=-<0,f(-1)=->0,所以x0∈(-2,-1). 2.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( ) A.(0,0.5),f(0.125) B.(0,0.5),f(0.375) C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.25) 答案 D 解析 因为f(0)f(0.5)<0, 由函数零点存在定理知,零点x0∈(0,0.5), 根据二分法,第二次应计算f ,即f(0.25). 3.函数f(x)=的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 当x≤0时,令f(x)=x2-2x-3=0, 得x=-1(x=3舍去), 当x>0时,令f(x)=0,得log2x=3x-4, 作出y=log2x与y=3x-4的图象,如图所示, 由图可知,y=log2x与y=3x-4有两个交点, 所以当x>0时,f(x)=0有两个零点, 综上,f(x)有3个零点. 4.已知函数f(x)=log2(x+1)-+m在区间(1,3]上有零点,则实数m的取值范围为( ) A. B.∪(0,+∞) C.∪(0,+∞) D. 答案 D 解析 由于函数y=log2(x+1),y=m-在区间(1,3]上单调递增, 所以函数f(x)在(1,3]上单调递增, 由于函数f(x)=log2(x+1)-+m在区间(1,3]上有零点, 则即 解得-≤m<0. 因此,实数m的取值范围是. 5.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是( ) A.(1,2] B.(1,2) C.(0,1) D.[1,+∞) 答案 A 解析 因为函数g(x)=f(x)-m有三个零点, 所以函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点, 作出函数f(x)的图象,如图所示, 由图可知,1<m≤2,即m的取值范围是(1,2]. 6.已知函数f(x)=x-(x>0),g(x)=x+ex,h(x)=x+ln x(x>0)的零点分别为x1,x2,x3,则( ) A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3 C.x2<x3<x1 D.x3<x1<x2 答案 C 解析 函数f(x)=x-(x>0),g(x)=x+ex,h(x)=x+lnx(x>0)的零点,即为y=x与y=(x>0),y=-ex,y=-ln x(x>0)的交点的横坐标, 作出y=x与y=(x>0),y=-ex,y=-ln x(x>0)的图象,如图所示. 可知x2<x3<x1. 7.(多选)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 答案 ABC 解析 由题意知, f(x)=sinx+2|sin x|,x∈[0,2π], f(x)= 在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示. 由其图象知,直线y=k与y=f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4. 8.(多选)(2023·南京模拟)在数学中,布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间,是构成一般不动点定理的基石,它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer),简单地讲,就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在一个点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列函数是“不动点”函数的是( ) A.f(x)=2x+x B.f(x)=x2-x-3 C.f(x)=+1 D.f(x)=|log2x|-1 答案 BCD 解析 选项A,若f(x0)=x0,则=0,该方程无解, 故该函数不是“不动点”函数; 选项B,若f(x0)=x0,则x-2x0-3=0, 解得x0=3或x0=-1,故该函数是“不动点”函数; 选项C,若f(x0)=x0,则+1=x0, 可得x-3x0+1=0,且x0≥1, 解得x0=,故该函数是“不动点”函数; 选项D,若f(x0)=x0,则|log2x0|-1=x0, 即|log2x0|=x0+1, 作出y=|log2x|与y=x+1的函数图象,如图, 由图可知,方程|log2x|=x+1有实数根x0, 即存在x0,使|log2x0|-1=x0, 故该函数是“不动点”函数. 9.已知指数函数为f(x)=4x,则函数y=f(x)-2x+1的零点为________. 答案 1 解析 由f(x)-2x+1=4x-2x+1=0,得2x(2x-2)=0,x=1. 10.(2023·苏州质检)函数f(x)满足以下条件:①f(x)的定义域为R,其图象是一条连续不断的曲线;②∀x∈R,f(x)=f(-x);③当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,>0;④f(x)恰有两个零点,请写出函数f(x)的一个解析式________. 答案 f(x)=x2-1 (答案不唯一) 解析 因为∀x∈R,f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数, 因为当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,>0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为f(x)恰有两个零点, 所以f(x)图象与x轴只有2个交点, 所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)=x2-1(答案不唯一). 11.已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是________. 答案 (1,+∞) 解析 方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,即f(x)=-x+a有且只有一个实根, 即函数y=f(x)的图象与直线y=-x+a有且只有一个交点. 如图,在同一直角坐标系中分别作出y=f(x)与y=-x+a的图象,其中a表示直线y=-x+a在y轴上的截距. 由图可知,当a≤1时,直线y=-x+a与y=f(x)有两个交点, 当a>1时,直线y=-x+a与y=f(x)只有一个交点. 故实数a的取值范围是(1,+∞). 12.已知函数f(x)=函数y=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则=________. 答案 解析 y=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4, 即方程f(x)=a有四个不同的解, 即y=f(x)的图象与直线y=a有四个交点. 在同一平面直角坐标系中分别作出y=f(x)与y=a的图象,如图所示, 由二次函数的对称性可得,x3+x4=4.因为1-=-1, 所以+=2,故=. 13.已知函数f(x)=|ex-1|+1,若函数g(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a有三个零点,则实数a的取值范围是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 答案 A 解析 令t=f(x),则函数g(t)=t2+(a-2)t-2a,由t2+(a-2)t-2a=0得,t=2或t=-a. f(x)=|ex-1|+1=作出函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,当t=2时,方程f(x)=|ex-1|+1=2有且仅有一个根,则方程f(x)=|ex-1|+1=-a必有两个不同的实数根,此时由图可知,1<-a<2,即-2<a<-1. 14.已知函数f(x)=-sin x-1,x∈[-4π,0)∪(0,4π],则函数f(x)的所有零点之和为________. 答案 0 解析 因为函数f(x)=-sinx-1=-sinx, 所以f(x)的对称中心是(0,0), 令f(x)=0,得=sinx, 在同一平面直角坐标系中作出函数y=,y=sin x的图象,如图所示, 由图象知,两个函数图象有8个交点,即函数f(x)有8个零点, 由对称性可知,零点之和为0. 15.(2023·南昌模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=ex-1,若关于x的方程f(x)=m(x+1)(m>0)恰有5个实数解,则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D.(0,e-1) 答案 B 解析 ∵f(x)=f(2-x), ∴函数f(x)关于直线x=1对称, 又f(x)为定义在R上的偶函数, ∴函数f(x)关于直线x=0对称, 作出函数y=f(x)与直线y=m(x+1)的图象,如图所示, 要使关于x的方程f(x)=m(x+1)(m>0)恰有5个实数解, 则函数y=f(x)的图象与直线y=m(x+1)有5个交点, ∴即<m<. 16.已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)=0},若存在α∈M,β∈N,使得|α-β|<n,则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)=32-x-1与g(x)=x2-aex互为“1度零点函数”,则实数a的取值范围为________. 答案 解析 由题意可知f(2)=0,且f(x)在R上单调递减, 所以函数f(x)只有一个零点2, 由|2-β|<1,得1<β<3, 所以函数g(x)=x2-aex在区间(1,3)上存在零点. 由g(x)=x2-aex=0,得a=. 令h(x)=, 则h′(x)==, 所以h(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,3)上单调递减, 且h(1)=,h(2)=, h(3)=>, 要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点, 只需a∈. |
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