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肖博数学小题专练 (五) 函数与方程、函数的应用 一、选择题 1.函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的区间是(e≈2.718 28)( ) A. 0， 1 2 B. 1 2，1 C.(1,2) D.(2,3) 答案 A 解析 ∵f(x)=e x+x-2，∴f(0)=1-2=-1<0，f 1 2 = e- 3 2 >0， ∴f(0)·f 1 2 <0，∴函数 f(x)=e x+x-2 的零点所在的区间是 0， 1 2 。 2.已知函数 y=f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应 值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 -74 24.5 -36.7 -123.6 则函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 答案 B 解析 依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点的存在 性定理可知， f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点， 故函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 3 个。 3.函数 f(x)= x 2+2x-3，x≤0， -2+lnx，x>0 的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 2 解析 当 x≤0 时，令 x 2+2x-3=0，解得 x=-3;当 x>0 时， 令-2+lnx=0，解得 x=e 2。所以已知函数有 2 个零点，故选 C。 4.已知函数 f(x)= 1 2 x-cosx，则 f(x)在[0,2π]上的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 作出 g(x)= 1 2 x与 h(x)=cosx 的图象，可以看到其在[0,2π] 上的交点个数为 3，所以函数 f(x)在[0,2π]上的零点个数为 3，故选 C。 5.若函数 f(x)=x 2+2a|x|+4a 2-3 的零点有且只有一个，则实数 a 等于( ) A. 3 2 或- 3 2 B.- 3 2 C. 3 2 D.以上都不对 答案 C 解析 令|x|=t，原函数的零点有且只有一个，即方程 t 2+2at+ 4a 2-3=0 只有一个 0 根或一个 0 根、一个负根，∴4a 2-3=0，解得 a= 3 2 或- 3 2 ，经检验，a= 3 2 满足题意。 6.已知函数 y=f(x)的周期为 2，当 x∈[-1,1]时，f(x)=x 2，那么 3 函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点个数为( ) A.10 B.9 C.8 D.1 答案 A 解析 在同一平面直角坐标系中分别作出 y=f(x)和 y=|lgx|的图 象，如图。又 lg10=1，由图象知选 A。 7.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程。 如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列 叙述中正确的是( ) A.消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/时。相同条件下，在该市用 丙车比用乙车更省油 答案 D 解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可 4 大于 5 千米，所以 A 错误。对于 B 选项，由图可知甲车消耗汽油最 少。对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L， 故行驶 1 小时的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误。对于 D 选项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙 车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以 D 正确。 8.设函数 f(x)=e x+2x-4，g(x)=lnx+2x 2-5，若实数 a，b 分 别是 f(x)，g(x)的零点，则( ) A.g(a)<0 C.0 答案 A 解析 依题意，f(0)=-3<0，f(1)=e-2>0，且函数 f(x)是增函数， 因此函数 f(x)的零点在区间(0,1)内，即 0 +3>0，函数 g(x)的零点在区间(1,2)内，即 1f(1)>0。 又函数 g(x)在(0,1)内是增函数，因此有 g(a) 选 A。 9.某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克，如图所示 为函数 y=f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于 240 毫克时，治疗 有效。设某人上午 8：00 第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最 迟的时间应为( ) A.上午 10：00 B.中午 12：00 5 C.下午 4：00 D.下午 6：00 答案 C 解析 当 x∈[0,4]时，设 y=k1x，把(4,320)代入，得 k1=80，∴y =80x。当 x∈[4,20]时，设 y=k2x+b。把(4,320)，(20,0)代入得 4k2+b=320， 20k2+b=0， 解得 k2=-20， b=400， ∴y=400-20x。∴y=f(x)= 80x，0≤x≤4， 400-20x，4 由 y≥240 ， 得 0≤x≤4， 80x≥240， 或 4 400-20x≥240。 解得 3≤x≤4 或 4 服药最迟应在当日下午 4：00，故选 C。 10.(2017·武汉高三调研)已知函数 f(x)=2ax-a+3，若∃x0∈(- 1,1)，使得 f(x0)=0，则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞，-3)∪(1，+∞) B.(-∞，-3) C.(-3,1) D.(1，+∞) 答案 A 解析 依题意可得 f(-1)·f(1)<0，即(-2a-a+3)·(2a-a+3)<0， 解得 a<-3 或 a>1，故选 A。 11 . (2017·沈 阳 市 教 学 质 量 监 测 ) 已 知 函 数 f(x) = 2 x+2 2 ，x≤1， |log2(x-1)|，x>1， 则函数 F(x)=f(f(x))-2f(x)- 3 2的零点个数是 ( ) 6 A.4 B.5 C.6 D.7 答案 A 解析 令 f(x)=t，则函数 F(x)可化为 y=f(t)-2t- 3 2，则函数 F(x) 的零点问题可转化为方程 f(t)-2t- 3 2=0 有根的问题。令 y=f(t)-2t - 3 2=0，即 f(t)=2t+ 3 2，如图①，由数形结合得 t1=0,1 再由数形结合得，当 f(x)=0 时，x=2，有 1 个解，当 f(x)=t2时，有 3 个解，所以 y=f(f(x))-2f(x)- 3 2共有 4 个零点。故选 A。 12.(2017·江西南昌一模)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(2-x) =f(x)，且当 x∈[1,2]时，f(x)=lnx-x+1，若函数 g(x)=f(x)+mx 有 7 个零点，则实数 m 的取值范围为( ) A. ln2-1 6 ， ln2-1 8 ∪ 1-ln2 8 ， 1-ln2 6 B. ln2-1 6 ， ln2-1 8 C. 1-ln2 8 ， 1-ln2 6 D. ln2-1 6 ， 1-ln2 8 7 答案 A 解析 函数 g(x)=f(x)+mx 有 7 个零点，即函数 y=f(x)的图象与 y=-mx 的图象有 7 个交点。当 x∈[1,2]时，f(x)=lnx-x+1，f′(x) = 1 x-1= 1-x x ≤0，此时 f(x)单调递减，且 f(1)=0，f(2)=ln2-1。由 f(2-x)=f(x)知函数图象关于 x=1 对称，而 f(x)是定义在 R 上的偶函 数，所以 f(x)=f(-(2-x))=f(x-2)，故 f(x+2)=f(x)，即 f(x)是周期 为 2 的函数。易知 m≠0，当-m<0 时，作出函数 y=f(x)与 y=-mx 的图象，如图所示。 则要使函数 y=f(x)的图象与 y=-mx 的图象有 7 个交点，需有 -8m -6m>f(6) ，即 -8m -6m>ln2-1 ，解得 1-ln2 8 1-ln2 6 。同理， 当-m>0 时，可得 ln2-1 6 ln2-1 8 。综上所述，实数 m 的取值范围 为 ln2-1 6 ， ln2-1 8 ∪ 1-ln2 8 ， 1-ln2 6 。 二、填空题 13.若函数 f(x)= 2 x-a，x≤0， lnx，x>0 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是________。 答案 (0,1] 解析 当 x>0 时，由 f(x)=lnx=0，得 x=1。因为函数 f(x)有两 8 个不同的零点，则当 x≤0 时，函数 f(x)=2 x-a 有一个零点，令 f(x) =0 得 a=2 x，因为 0<2x≤2 0=1，所以 0 围是 0 14.已知函数 f(x)=a x+x-b 的零点 x0∈(n，n+1)(n∈Z)，其中 常数 a，b 满足 2 a=3,3b=2，则 n=________。 答案 -1 解析 a=log23>1,0 x=-x+b。在 同一平面直角坐标系中画出函数 y=a x和 y=-x+b 的图象，如图所 示，由图可知，两函数的图象在区间(-1,0)内有交点，所以函数 f(x) 在区间(-1,0)内有零点，所以 n=-1。 15.我们把形如 y= b |x|-a (a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字 中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当 a=1，b=1 时的“囧 函数”与函数 y=lg|x|的交点个数为 n，则 n=________。 答案 4 解 析 由 题 意 知 ， 当 a = 1 ， b = 1 时 ， y = 1 |x|-1 = 9 1 x-1 (x≥0且x≠1)， - 1 x+1 (x<0且x≠-1)。 在同一坐标系中画出“囧函数”与函数 y=lg|x|的图象如图所示，易知它们有 4 个交点。 16.(2017·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的 工作情况如图所示，其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的 工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午 的工作时间和加工的零件数，i=1,2,3。 ①记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2， Q3 中最大的是________; ②记 Pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 P1，P2，P3中最大的是________。 答案 ①Q1 ②P2 解析 ①设线段 AiBi 的中点为 Ci(xi，yi)，则 Qi=2yi(i=1,2,3)。 10 因此只需比较 C1，C2，C3三个点纵坐标的大小即可。不难发现 y1最 大，所以 Q1最大。②由题意，知 Pi= yi xi (i=1,2,3)。故只需比较三条直 线 OC1，OC2，OC3的斜率即可，发现 P2最大。 请加关注 视频联系方式 获取完整解题方式 |
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