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1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数， 记作f′(x0)或y′| x=x，即f′(x0)＝＝. (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．辨明三个易误点 (1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a混淆． (2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． (3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． 2．导数运算的技巧 (1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数； (2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．
1. 函数y＝xcos x－sin x的导数为( ) A．xsin x B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x B [解析] y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 2．(2017·豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)＝2exsin x，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A．y＝0 B．y＝2x C．y＝x D．y＝－2x B [解析] 因为f(x)＝2exsin x，所以f(0)＝0，f′(x)＝2ex·(sin x＋cos x)，所以f′(0)＝2，所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x. 3．(2017·开封市第一次模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1，3)，则n＝( ) A．－1 B．1 C．3 D．4 C [解析] 对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，所以k＝3＋m，又k＋1＝3，1＋m＋n＝3，可解得n＝3. 4．(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________． [解析] 因为f(x)＝(2x＋1)ex， 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以f′(0)＝3e0＝3. [答案] 3 5．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________． [解析] 设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x， 所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2， 所以y0＝eln 2＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)． [答案] (－ln 2，2)
[典例引领]
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sin x； (3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝； (5)y＝ln(2x－5)． 【解】 (1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1) ＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x， 所以y′＝18x2－10x－4. (2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln 3＋3xex－2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (4)y′＝＝ ＝. (5)令u＝2x－5，y＝ln u， 则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝.
(1)y＝xnex；(2)y＝；(3)y＝exln x； (4)y＝(1＋sin x)2. [解] (1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)． (2)y′＝＝－. (3)y′＝exln x＋ex·＝ex. (4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小． 高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程； (2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值． [典例引领]
(2)(2017·重庆适应性测试(二))若直线y＝ax是曲线y＝2ln x＋1的一条切线，则实数a＝________． 【解析】 (1)由题意可得当x＞0时，f(x)＝1n x－3x，则f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1. (2)依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2ln x＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝，于是有，解得x0＝，a＝＝2e. 【答案】 (1)y＝－2x－1 (2)2e
(1)求曲线切线方程的步骤 ①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点 ①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0； ②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解． [题点通关]
1．(2017·广州市五校联考)曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.e2 B．4e2 C．2e2 D．e2 D [解析] 因为y′＝ex，所以k＝e×4＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2， 令y＝0，得x＝2，所以所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.
2．(2017·郑州市第二次质量检测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)和(－1，3) D．(1，－3) C [解析] f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
3．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则a＝________，切点坐标为________． [解析] 曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1. 设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax－a)． 则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax－a＝x0＋1. 解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1，0)． [答案] － (－1，0)
【解析】 由于y′＝2x，所以抛物线在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 画出可行域(如图)．设x＋2y＝z，则y＝－x＋z，可知当直线y＝－x＋z经过点A，B(0，－1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax＝，最小值zmin＝－2，故取值范围是.
【答案】
(2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用． (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．
[解析] f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝. 所以x1·x2·…·x2 016＝×××…××＝. 则log2 017x1＋log2 017x2＋…＋log2 017x2 016 ＝log2 017(x1·x2·…·x2 016)＝log2 017＝－1. [答案] －1
1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是( ) A．0 B．2cos 1－sin 1 C．cos 1－sin 1 D．1 B [解析] 因为y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x， 所以y′|x＝1＝2cos 1－sin 1. 2．(2017·赣州高三月考)已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于( ) A．0 B．－1 C. D．2 C [解析] 依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4， 所以f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝. 3．(2017·郑州市第一次质量预测)函数f(x)＝excos x的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( ) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 C [解析] 依题意，f(0)＝e0cos 0＝1，因为f′(x)＝excos x－exsin x，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0. 4．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于( ) A．2 B．－2 C. D．－ D [解析] 由已知条件f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，知f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，令x＝2，则f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，即2f′(2)＝－，所以f′(2)＝－. 5．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2 017)＝( ) A．1 B．2 C. D. D [解析] 令ex＝t，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，故f(x)＝ln x＋x.求导得f′(x)＝＋1，故f′(2 017)＝＋1＝. 6．设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，则a－b的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 A [解析] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.所以a－b＝－1，故选A. 7．函数y＝的导数为________． [解析] y′＝＝. [答案] 8．(2017·武汉市调研测试)曲线f(x)＝xln x在点M(1，f(1))处的切线方程为________． [解析] 由题意，得f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f(1)＝0，所以所求切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0. [答案] x－y－1＝0 9．(2017·兰州市诊断考试)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________． [解析] 因为y′＝－(x＞0)，所以令－＝－， 解得x＝2或x＝－3(舍去)，所以x＝2. [答案] 2 10．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． [解析] 由题意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x＞0)，故a∈(－∞，0)． [答案] (－∞，0) 11．求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝； (3)y＝xsincos； (4)y＝. [解] (1)法一：因为y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以y′＝24x3＋9x2－16x－4. 法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝ ＝ ＝. (3)因为y＝xsincos ＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x， 所以y′＝－sin 4x－x·4·cos 4x ＝－sin 4x－2xcos 4x. (4)y′＝ ＝ ＝. 12．已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． 因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1. 所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)因为切线与直线y＝－x＋3垂直， 所以切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1. 所以或 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14.
13．(2017·沈阳检测)已知函数y＝x2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数y＝ln x，x∈(0，1)的图象相切，则x0必满足( ) A．0＜x0＜ B.＜x0＜1 C.＜x0＜ D.＜x0＜ D [解析] 令f(x)＝x2，f′(x)＝2x，f(x0)＝x，所以直线l的方程为y＝2x0(x－x0)＋x＝2x0x－x，因为l也与函数y＝ln x(x∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x1，ln x1)，y′＝，所以l的方程为y＝x＋ln x1－1，这样有所以1＋ln(2x0)＝x，x0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x2－ln(2x)－1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x0，又因为g′(x)＝2x－＝，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2＜0，g()＝1－ln 2＜0，g()＝2－ln 2＞0，从而＜x0＜，选D. 14．(2017·浙江省宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″ (x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)． ①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex. [解析] ①中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin＜0在区间上恒成立；②中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在区间上恒成立；③中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在区间上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在区间上恒成立，故④中函数不是凸函数． [答案] ①②③ 15．设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直，求a＋b的值． [解] 对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2， 对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a， 设C1与C2的一个交点为(x0，y0)， 由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直． 所以(2x0－2)·(－2x0＋a)＝－1， 即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，① 又点(x0，y0)在C1与C2上， 故有 ⇒2x－(a＋2)x0＋2－b＝0.② 由①②消去x0，可得a＋b＝. 16．(2017·河北省唐山一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． [解] (1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a， 因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2. (2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12)． 因为g′(x0)＝6x0＋6， 所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1. 当x0＝－1时，切线方程为y＝9； 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9. 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， ①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2. 在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18； 在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9， 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9. ②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12， 解得x＝0或x＝1. 在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11； 在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10， 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9. 综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.
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