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1．函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
3.二分法
1．辨明两个易误点 (1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件． 2．会用判断函数零点个数的三种方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 3．明确三个等价关系(三者相互转化)
4．用二分法求方程的近似解时注意以下两点 (1)并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： ①在区间[a，b]上连续不断； ②f(a)·f(b)＜0. 上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值． (2)求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．应注意精确度对近似值的影响．
1. 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
[答案] A 2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( ) A．0，2 B．0， C．0，－ D．2，－ C [解析] 因为2a＋b＝0， 所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)． 所以零点为0和－. 3. 函数f(x)＝x－的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 B [解析] 函数f(x)＝x－的零点个数是方程x－＝0的解的个数，即方程x＝的解的个数，也就是函数y＝x与y＝的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.
4．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在下列哪个区间内( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) C [解析] 因为y＝ln x与y＝2x－6在(0，＋∞)上都是增函数，所以f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数． 又f(1)＝－4，f(2)＝ln 2－2＜ln e－2＜0， f(3)＝ln 3＞0. 所以零点在区间(2，3)上，故选C. 5. 若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则 ①函数f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内； ②函数f(x)在(3，5)内无零点； ③函数f(x)在(2，5)内有零点； ④函数f(x)在(2，4)内不一定有零点； ⑤函数f(x)的零点必在(1，5)内． 以上说法错误的是________(填序号)． [答案] ①②③
[典例引领]
A. B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3) 【解析】 因为f＝－＋－e－2<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0，所以f(2)f(e)<0，所以函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(2，e)，故选C. 【答案】 C
判断函数零点所在区间的方法
A．[0，1] B．[1，2] C．[－2，－1] D．[－1，0] D [解析] 因为f(0)＝1，f(1)＝2， 所以f(0)f(1)＞0， 因为f(2)＝5，f(1)＝2， 所以f(2)f(1)＞0， 因为f(－2)＝－4，f(－1)＝－1， 所以f(－2)f(－1)＞0， 因为f(0)＝1，f(－1)＝－1， 所以f(0)f(－1)＜0， 易知[－1，0]符合条件，故选D.
A.，0 B．－2，0 C. D．0 (2)若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝在上的根的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 (1)当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0； 当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝， 又因为x＞1，所以此时方程无解． 综上函数f(x)的零点只有0. (2)因为f(x)为偶函数， 所以当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]， 所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2. 又f(x－1)＝f(x＋1)， 所以f(x＋2)＝f(x)， 故f(x)是以2为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝在上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点， 故方程f(x)＝在上有三个根．故选C.
【答案】 (1)D (2)C
若将本例(2)中“”变为“”，则方程f(x)＝在[－3，3]上所有根的和为________． [解析] 由本例(2)解析知f(x)＝在[－3，3]上有六个不同根，不妨设为x1<x2<x3<x4<x5<x6， 由图象关于y轴的对称性知x1＋x6＝0，x2＋x5＝0，x3＋x4＝0，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝0. [答案] 0
[通关练习] 1．(2017·临沂模拟)函数f(x)＝0.9x－x的零点个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B [解析] 因为f(x)＝0.9x－x，则函数f(x)为减函数，值域为R，所以函数f(x)的图象必与x轴有一个交点，即方程0.9x－x＝0有一解． 2．(2017·辽宁五校协作体联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋x－3，则f(x)的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 C [解析] 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x>0时，令f(x)＝2x＋x－3＝0，则2x＝－x＋3.分别作出函数y＝2x和y＝－x＋3的图象如图所示，可得这两个函数的图象有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)内有一个零点．又根据图象的对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，主要有以下两个命题角度： (1)已知函数的零点或方程的根求参数值或范围； (2)利用函数零点比较大小． [典例引领]
A．f(a)<f(1)<f(b) B．f(a)<f(b)<f(1) C．f(1)<f(a)<f(b) D．f(b)<f(1)<f(a) (2)(2016·高考山东卷)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是__________． 【解析】 (1)由题意，知f′(x)＝ex＋1>0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，所以函数f(x)的零点a∈(0，1)； 由题意，知g′(x)＝＋1>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g(x)的零点b∈(1，2)． 综上，可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)<f(1)<f(b)．故选A. (2)函数f(x)的大致图象如图所示，根据题意知只要m>4m－m2即可，又m>0，解得m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
【答案】 (1)A (2)(3，＋∞) 函数零点应用问题的常见类型及解题策略 (1)已知函数零点求参数，根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围． (2)已知函数零点的个数求参数，常利用数形结合法． (3)借助函数零点比较大小，要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小． [题点通关]
1．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________． [解析] 函 [答案] (0，1)
2．设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( ) A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a) C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0 A [解析] 依题意，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0，1)内，即0<a<1，g(1)＝－3<0，g(2)＝ln 2＋3>0，函数g(x)的零点在区间(1，2)内，即1<b<2，于是有f(b)>f(1)>0.又函数g(x)在(0，1)内是增函数，因此有g(a)<g(1)<0，所以g(a)<0<f(b)． 用二分法求方程的近似解
【解】 设f(x)＝lg x＋x－2，用计算器计算得f(1)＜0，f(2)＞0⇒x∈(1，2)； f(1.5)＜0，f(2)＞0⇒x∈(1.5，2)； f(1.75)＜0，f(2)＞0⇒x∈(1.75，2)； f(1.75)＜0，f(1.875)＞0⇒x∈(1.75，1.875)； f(1.75)＜0，f(1.812 5)＞0⇒x∈(1.75，1.812 5)． 因为|1.812 5－1.75|＝0.062 5＜0.1. 所以方程的近似解可取为1.75.
[解] 由于f(－2)＝－1＜0，f(－3)＝4＞0， 故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算，列表如下：
由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5＜0.1， 所以函数的一个近似负零点可取－2.25. 2．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？ [解] 如图所示，首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m之内，查7次就可以了．
1．(2017·汕头二模)下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( ) A．y＝log2x B．y＝2x－1 C．y＝x2－2 D．y＝－x3 B [解析] y＝log2x在(－1，0]上没有意义，故A不满足题意；y＝x2－2在(－1，0)上单调递减，故C不满足题意；y＝－x3在(－1，1)上单调递减，故D不满足题意；因为y＝2x－1在(－1，1)上单调递增，f(－1)<0，f(1)>0，所以在(－1，1)内存在零点，故选B. 2．(2017·皖北四校联考(一))已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 B [解析] 依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个． 3．(2017·温州十校联考(一))设函数f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) B [解析] 法一：因为f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，所以f(1)·f(2)<0，因为函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．
法二：函数f(x)的零点所在的区间为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)． 4．(2017·南昌二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2 018x＋log2 018x，则函数f(x)的零点个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝( ) A．0 B．2 C．5 D．7 C [解析] 因为f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为单调递增函数，所以x0∈[2，3]，即a＝2，b＝3，所以a＋b＝5. 6．(2017·德州模拟)已知函数f(x)＝(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k满足( ) A．k≤2 B．－1<k<0 C．－2≤k<－1 D．k≤－2 D [解析] 由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0，显然k＝0时两个函数y＝|f(x)|和y＝－k图象只有一个公共点，所以k<0，要使y＝|f(x)|与y＝－k的图象有三个公共点(如图所示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．
7．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________． [解析] 由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－. [答案] － 8．函数f(x)＝的零点所构成的集合为________． [解析] 由f(x)＝0得 或 解得x＝－2或x＝e. [答案] {－2，e} 9．已知函数f(x)＝有3个零点，则实数a的取值范围是________． [解析] 因为函数f(x)有3个零点， 所以当x＞0时，方程ax－3＝0有解，故a＞0， 所以当x≤0时，需满足， 即0＜a＜1.综上，实数a的取值范围是(0，1)． [答案] (0，1) 10．(2017·河北省衡水中学模拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝logx，记函数h(x)＝则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．
[答案] 5 11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围． [解] (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 所以函数f(x)的零点为3和－1. (2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0，1)． 12．设函数f(x)＝(x>0)． (1)作出函数f(x)的图象； (2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值； (3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
[解] (1)如图所示． (2)因为f(x)＝ ＝ 故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数， 由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，且－1＝1－，所以＋＝2. (3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根． 13．(2017·石家庄一模)已知x0是f(x)＝＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0，0)，则( ) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0 C [解析] 因为x0是函数f(x)＝＋的一个零点，所以f(x0)＝0，因为f(x)＝＋是单调递减函数，且x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0，0)，所以f(x1)>f(x0)＝0>f(x2)，故选C. 14．(2017·重庆一诊)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝a|x－2|－a，其中a为常数，且a>0.若函数y＝f[f(x)]有10个零点，则实数a的取值范围是________． [解析] 当x≥0时，令f(x)＝0，得|x－2|＝1，即x＝1或x＝3.因为f(x)是偶函数，则f(x)的零点为x＝±1和x＝±3，作出函数y＝f(x)的大致图象如图所示．令f[f(x)]＝0，则f(x)＝±1或f(x)＝±3.因为函数y＝f[f(x)]有10个零点，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝±1和y＝±3共有10个交点．由图可知，1<a<3.
[答案] (1，3) 15．(2017·北京海淀区模拟)已知函数f(x)＝－x2－2x， g(x)＝ (1)求g[f(1)]的值； (2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围． [解] (1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解， 则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是. 16．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数． [解] (1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}， 所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. 所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3. (2)因为g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)， 所以g′(x)＝1＋－＝. 令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3. 当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0. 又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点． 故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点．
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