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第二课时：反证法
一、导入新课
【提问】初中我们学过反证法，你能回答出用反证法证明命题的一般步骤吗？
学生活动：
口答：
（l）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
设计意图：
复习旧知识，为学习反证法铺平道路．
教师活动：
【导入】同学们对反证法这种间接证法不像学过的直接证法如综合法、分析法那样熟悉，感到抽象、难懂，让我们举出一例对反证法加以介绍．
我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日．
这个问题若用直接证法来解决是有困难的，我们可以运用反证法．
运用反证法证明这个问题首先是根据“至少有两个学生在同一天过生日”的反面是“任何两个学生都不在同一天过生日”，也就是反设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”，从这个反设出发就会推出这367人就会有不同的367天过生日，这就出现了与一年只有365天（闰年366天）的矛盾．产生这个矛盾的来源是由于开始的反设，因此反设不成立，这样得出了“至少有两个学生在同一天过生日”的结论．
设计意图：
以生活中的实际例子拉近学生与反证法的距离，激发学生的学习兴趣．
【板书】反证法证题的步骤：
1．反设； 2．归谬； 3．结论
【例】用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．
已知：如图，在⊙O中，弦 AB、CD相交于 P点，且 AB、CD不是直径．
求证：弦AB、CD不被P点平分．
【设问】用反证法证明这道题如何进行反设？怎样进行归谬？
【引导讨论】“弦AB、CD不被P点平分”的反面是“弦AB、CD被P点平分”，因而反设是“假设弦AB、CD被P点平分”．
学生活动：
思考后分组讨论，互相补充．
设计意图：
在关键处设问，激励学生探究精神，提高运用反证法的能力．
教师活动：
由于P点不是圆心O，连结OP，由垂径定理的推论得  ，  ，这样过P点有两条直线与OP都垂直，与垂线的性质矛盾．
结论是“弦AB、CD不被P点平分”成立．
这道题用反证法证明还有一个方法．
连结 AD、BD、BC、AC·
【提问】用反证法证明怎样反设？怎样归谬？
反设仍是“弦AB、CD能被P点平分”．
学生活动：
讨论后回答
因为  ，所以四边形ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边形必是矩形，则其对角线AB、CD必是圆O的直径，这与假设矛盾，所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立·
设计意图：
让学生进一步体会在反证法中如何进行反充、归谬．
教师活动：
【练习】用反证法证明  不是有理数
证明：假设  是有理数，则  可表示为  （  ，  为自然数，且互质）
两边平方，得
①
由①知 必是2的倍数，进而 必是2的倍数．
令 代入①式，得
②
由②知， 必是2的倍数， 和 都是2的倍数，则 、 不互质，与假定 、 互质相矛盾， 不是有理数．
设计意图：
巩固练习．
教师活动：
【例】用反证法证明：如果 ，那么 ．
【剖析】运用反证法证明这道题时，怎样进行反设？ 的反面是否仅有 ？
证明：假设 不小于 ，则或者 ，或者
当 ，因为 ，所以
在 的两边都乘以 得
，
在 的两边都乘以 得
，
所以
这与假设 矛盾，所以 不成立．
当 时可得到 ，这与假设 矛盾．
综上所述，所以
设计意图：
通过对例题的剖析，使学生掌握如何在反证法中反设和归谬．
教师活动：
三、课堂练习
用反证法证明：
已知：锐角三角形ABC中
求证：
证明：假设 ，则
因为 ，所以 ， ．这样可推出 是钝角三角形或直角三角形，这与假设 是锐角三角形矛盾．所以
设计意图：
进一步提高运用反证法证题的能力．
四、小结
反证法证题的步骤：
（1）反设；（2）归谬；（3）结论．
运用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与已知条件的矛盾，也可以是与某个公理、定理的矛盾，也可以是证明过程中自相矛盾．
五、作业
1．阅读课本 四种命题中“反证法”部分
2． 四种命题中“反证法”练习1、2．
3．习题 5、6
4．用反证法证明：在 中，AB、BC、AC不全相等，那么 、 、 中至少有一个大于
证明：假设 、 、 都大于 ，即 ， ，
因为AB、BC、AC不全相等，所以上面三式中不能同时取等号，这样有 ．与定理“三角形内角和为 ”矛盾，因此结论 、 、 中至少有一个大于 成立．
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