高考倒计时 | 每日一道高考题，助力高考得高分（47）

 本周更新文数，下周更新理数

小数老师说：

今天带来一道椭圆的应用题

（全国I卷模拟 ·文数· 20）

20．（12分）已知抛物线C：y²=4x，直线x=ny+4与抛物线C交于A，B两点．

（Ⅰ）求证： · =0（其中O为坐标原点）；

（Ⅱ）设F为抛物线C的焦点，直线l₁为抛物线C的准线，直线l₂是抛物线C的通径所在的直线，过C上一点P（x₀，y₀）（y₀≠0）作直线l：y₀y=2（x+x₀）与直线l₂相交于点M，与直线l₁相交于点N，证明：点P在抛物线C上移动时，恒为定值，并求出此定值．

先自己思考

本题考点

直线与抛物线的位置关系

题目分析

（Ⅰ）直线x=ny+4与抛物线C联立可得y²﹣4ny﹣16=0，利用韦达定理及向量的数量积公式即可证明结论；

（Ⅱ）求出M，N的坐标，计算|MF|，|NF|，即可证明结论

题目解析

证明：（Ⅰ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），

直线x=ny+4与抛物线C联立可得y²﹣4ny﹣16=0，

∴y₁+y₂=4n，y₁y₂=﹣16，

∴·=x₁x₂+y₁y₂=+y₁y₂=0；

（Ⅱ）证明：将点M，N的横坐标分别代入直线l：y₀y=2（x+x₀），

得M（1，），N（﹣1，），

∵F（1，0），∴|MF|=||，|NF|==

∴=|÷==1，

∴点P在抛物线C上移动时，恒为定值1．

本题点评

本题考查直线与抛物线的综合运用，考查韦达定理，向量知识的运用，属于中档题．