|
教学目标与教学指导：
算法思想源远流长，中国古代数学中就蕴涵了丰富的算法思想。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并且日益融入社会生活的许多方面，算法思想已成为现代人应具备的一种数学素养。希望学员通过本专题内容的学习，理解算法思想的特点，了解中学数学对算法教学的要求。
一、什么是算法思想
算法思想就是指按照一定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。
算法与现在的构造类似。关于数学中的构造性证明和存在性的证明，存在性证明通常只能间接指出对象的存在性，却不能具体构造出所需对象，只是证明了“没有被看到的”的存在，这是一种理性的承认，比如关于一元高次方程的根的存在性证明，欧几里得证明“素数个数无限”，等等。希尔伯特曾经在给学生讲到存在性证明时，举过一个例子：“这个班里一定存在一个学生，他的头发数最少，可是我们不可能知道他是谁”。现代数学中这种证明是很多的。
而构造或是算法的体系相信“眼见为实”， 在数学中，完成每一件工作，例如，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结果，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步地去完成，这就是算法的思想，程序化的思想。以前，我们没有给出算法这个名词，但是，我们一直在利用算法的思想。尤其在计算机普及的时代，程序化越来越为人们普遍接受，提高设计“算法的能力”变得很必要了。
算法和计算机有着密切的联系，计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确的描述出来，计算机才能够解决问题。因此，算法是计算机科学的重要基础，没有算法也就没有计算机。
二、中国古代的数学是建立在算法基础之上的
众所周知，中国古代数学不同于现代数学。现代数学是建立在古希腊以《几何原本》为代表的逻辑、公理体系上的，是一种理性思维成果。数学的发展和科学的进步都表明这一成果是富有成效的，是人类最宝贵的精神财富。
而我国的古代数学是建立在算法基础之上的。一切结论只是通过算法来说明，是一种典型的算法体系。这可以从中国古代数学家的著作中看出端倪，其中最具代表性的就是《九章算术》。
《九章算术》是中国古代数学专著，就其成就来说堪称是世界数学名著。它承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书，这大约是公元一世纪的下半叶。其内容按类分章，以数学问题的形式出现，共收有 246个数学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。
算法化、机械化构成了中国古代数学的主要特征，使得数学更好地应用于生产生活。但数学发展的事实表明，这种理念对数学的发展也存在不利的方面。举一个例子，勾股定理是我们最为自豪的古代成果，我国古代对它的证明采用的都是割补面积的思想，正确与否也是“眼见为实”的。可是我们知道，勾股定理事实上更深层次上反映的是三组数的一种特定关系，如果不能从这一层次上证明这一问题，勾股定理的意义只能仅仅停留在几何的层面上。而古希腊的毕达哥拉斯学派的证明，就是从三个数的关系上证明的（仅限于自然数），证明是深刻的，是现代意义上的证明，促进了数学的发展。
三、中学数学中的算法内容
算法初步在新课标中是必修模块数学3中的内容之一。它既是高中数学的新增内容，又具有较强的应用性。其教学的安排具有如下特点：
（1）算法思想是贯穿高中课程的一条主线，算法思想就是指按照一定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。
（2）在课程设计中算法分为两部分，一部分是介绍算法的基本思想和基本知识。另一部分是把算法思想渗透到高中课程的其它内容中。
（3）算法的基本思想和基本知识的学习遵循以下原则：通过学生熟悉的实例和数学中的实例进行教学，即案例教学；引导学生动手实践，在做中学习、体会、理解算法的基本思想。
（4）介绍算法的基本思想和基本知识的几个步骤：用自然语言描述算法；用框图语言描述算法；用基本语句（伪代码）描述算法；有条件的地方可以使用程序语言描述算法，并上机操作。
（5）算法思想强调的是通性通法，而不去关注问题的特殊性。
（6）算法思想可以很好的培养学生的逻辑推理能力。
具体说来，对于算法的概念，需要使学生明确的是：算法一定是以问题为载体的，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法，它通常指向某一个或某一类问题；用算法解决问题的过程是程序性和构造性的。
对于算法的特点，需要使学生明确的是：能行性：算法应有明确的步骤一步一步的引导计算的进行，即每一步都是可读的、可执行的，并且能够得到最终结果；明确性：算法下一步应执行的步骤必须明确──或者由规则确定，或者由规则和上一步的结果确定，而不需要计算者临时动脑筋；有限性：算法应由有限步组成；离散性：算法输入和输出的数据应该是离散的符号（字母、数字或一些键盘符号），例如不能输入一条曲线；通用性：算法应追求能适用于某一类问题的所有个体，只用来解决一个具体问题的算法没有多大价值。
讨论与思考：
1、中国古代数学的主要特点是什么？
2、通过教学应使学生明确算法的哪些特点？
|
