九上尖子生培优系列(34) ——《旋转》提高练习4

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已知：如图，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想.

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【图文解析】

       显然无法直接证明，但由于△ABC是等边三角形，具备旋转了条件，因此可将与“BP、PC、AP”相关且含等边三角形一边的三角形进行旋转，即可将这三条线段进行关联，从而转化为一般情形（两条线段相等）。下面提供六种思路（本质均一样）给出本题的解法.

法一　将△BCP绕C点顺时针旋转60⁰，使点B与点A重合，得△ACP’，连接PP’, 如下图示：

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不难得到： BP＝A P’，∠AP’C＝∠BPC＝120⁰，△PCP’是等边三角形（PP’＝PC＝CP’），进一步地，得∠P P’C＝60⁰，所以∠AP’C＋∠P P’C＝180⁰，因此P、P’、A三点共线，如下图示：

从而AP＝AP’ P’P＝BP PC.

法二　如下图示：

法三　如下图示：

法四　如下图示：

法五　如下图示：

法六　如下图示：

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【变式拓展】

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1.已知：如图，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想.（与原题相同，只是图形位置不同.）

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提示　结论：PC＝PA PB.与上题类似，同样也有六种解题思路，可参考上题.下面仅举一种思路.如下图示：

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2.已知：如图，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想.

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       提示：方法同样也有六种思路，解题思路与上题类似，可参考上题，下面仅举一种思路.如下图示，

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