基于MRT－LBE模型的植被水流数值模拟研究

【水文泥沙】

基于MRT－LBE模型的植被水流数值模拟研究

蔡银娟1，景何仿2，3，李春光2，白玉川3，吴砚婕1

（1.北方民族大学 数学与信息科学学院，宁夏 银川750021；
2.北方民族大学 数值计算与工程应用研究所，宁夏银川750021；3.天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室，天津300350）

摘 要：河道中水生植物的存在会影响水流结构，从而对河床冲淤、航运、防汛工程等产生影响。基于格子Boltzmann方法，对具有刚性植被的实验室水槽水流进行了二维数值模拟研究。为了验证数值模拟结果，采用三维激光多普勒流速仪对含不同直径、不同排列方式植被群的实验室水槽水流进行了实测。由于单松弛模型在高雷诺数下不太稳定，因此引入了多松弛模型（MRT模型），并在模型中加入了植被拖曳力，给出了MRT－LBE模型的具体算法。对稀疏交错、稠密交错、稀疏并排、稠密并排4种典型工况下非淹没刚性植被的水流结构进行了数值模拟。结果表明模拟结果与实测数据吻合较好，说明MRT－LBE模型能够合理地模拟具有刚性植被的明渠水流。同时，根据数值模拟结果，分析并讨论了4种典型工况下的水流特性。

关键词：格子Boltzmann方法；多松弛模型；水生植物；水流特性

Abstract： River vegetation can affect the flow structure.As a result， it can affect the river bed scour and deposition， navigation， flood con⁃trol engineering， etc.In this paper， the lattice Boltzmann method was used for the 2D numerical simulation of the flow structure in laboratory flume with rigid vegetation， which was replaced by glass rods.In order to verify the numerical simulation results， a 3D laser Doppler flow me⁃ter was used to test the water flow in the laboratory flume with different diameters and different arrangement of vegetation groups.Because the single relaxation model is usually unstable under high Reynolds numbers， multi⁃relaxation time model mas introduced by this study， and the drag force of vegetation is added in the model.Furthermore， the algorithm of MRT⁃LBE model was presented.Numerical simulations were conducted under four different vegetation arrangements， i.e.sparse and parallel， dense and parallel， sparse and staggered and dense and staggered.By comparison with the measured results， simulation results and the measured data were in good agreement， indicating that the LBM method could reasonably simulate the flow in open channel with rigid vegetation.According to the results of numerical simulation， the flow velocity distributions under four typical working conditions were analyzed and discussed.

Key words： lattice Boltzmann method； multi⁃relaxation time model； aquatic plant； flow characteristic

天然河道中广泛存在的形态迥异的植被是岸滩及水流区域动力系统重要的组成部分之一，近年来学者们广泛关注含植物相关水力问题的研究，研究成果主要集中于现场实测、水槽试验和数值模拟3个方面。现场实测受仪器设备、水流、植被及天气等的影响，研究难度相对较大。在水槽试验方面，渠庚等［1］研究了含植物明渠水流阻力特性的变化规律，得出了在不同区域水流雷诺数与植被类型的相关性；吴龙华等［2］利用水槽明渠圆柱扰流试验研究了挺水植被的不同状态对水流阻力的影响，结果表明挺水植被的相对刚度与阻力系数成正比；吴迪等［3］通过水槽试验研究了柔性植物消浪及沿程阻流的特性，结果表明波高消减系数与水流速度无明显关系，柔性植物使断面流速在植被上部冠层区域减小，特别是植被带中和植被带下游边缘处，冠层区域流速显著减小；王金城等［4］研究了含植被水流泥沙问题，考虑的主要因素有水深、流速、紊动结构、阻力系数、波浪等。

近年来，随着计算机技术的高速发展，数值模拟作为一种重要的方法在含植被河流数值模拟中得到广泛应用。槐文信等［5］基于水深平均模型，对含水生植被的渠道水流运动进行了数值模拟，对等效曼宁阻力系数的计算公式进行了修正，分析了非对称复式断面和矩形断面局部有植被渠道的流速分布情况；罗晶等［6］基于RNG κ－ε模型，通过对同一来流情况下3种不同株径的刚性植物群进行数值模拟，分析了植物带前、带中、带后典型断面纵、横向水面线的变化和流场情况。

依据不同尺度，流体系统的描述方法一般来说可分为宏观连续模型、微观分子模型和介观动理学模型。宏观连续模型中，流体被视为充满整个流场的连续介质，从而可以在空间每一点定义流体的密度、速度、温度和压力等，并建立一系列偏微分方程（如Navier－Stokes方程）来描述流体的运动；微观分子模型将流体视为一个由大量分子构成的多体系统，着眼于每个流体分子的动力学行为，通过对每个分子的运动进行刻画，采用统计方法来描述流体的整体运动情况；介观动理学模型介于微观模型和宏观模型之间，着眼于流体的速度分布函数，通过研究其时空演化过程，根据宏观物理量与分布函数的关系来获得宏观流动信息。

宏观模型及相应的数值模拟方法是目前发展最成熟、应用最广泛的方法。前面列举的文献［5］、文献［6］均是从宏观模型出发进行数值模拟的。然而，对于不规则边界和复杂流体（如多孔介质流、多相流等），该类方法处理边界的难度较大，如张忠宇等［7］对圆柱绕流问题进行数值模拟时，采用非结构网格进行剖分，用曲边三角形单元构造二维圆柱的曲边边界，复杂度较高。微观分子动力学模拟方法基于最基本的运动规律，虽然原则上可以模拟任意的流体系统，但是要有效模拟一个流体系统，所需的分子数量非常庞大，需要非常大的计算量和存储量，目前一般的计算机或机群系统尚难以胜任。

格子 Boltzmann方法（lattice Boltzmann method，LBM）作为一种介观方法，在边界处理方面具有很大优势。 该方法由 Menamara G.R.等［8］在1988年提出，近30 a来取得了长足发展，已用于模拟复杂流动现象，如多相流、磁流体、非牛顿流体、颗粒流等。然而，将该方法用于植被数值模拟的研究成果尚不多见。本文对LBM中的D2Q9模型进行了修正，在模型中加入了植被拖曳力的影响。另外，考虑到单松弛模型（single relaxation time model， SRT）在水流雷诺数较大时会出现不稳定性现象，在格子Boltzmann方程中引入了多松弛模型（multi－relaxation time model， MRT），组建了 MRT－LBE（lattice Boltzmann equation， LBE）模型，并给出了该模型的具体算法。本研究利用MATLAB 2010a进行编程，在Win7系统中进行调试运行，处理器为Intel i7－4790，内存为4 GB。根据植被群的不同排列方式和疏密程度，分几种典型工况对含植被群的实验室水槽水流进行了数值模拟研究，分析了不同工况下的流速分布规律，以期为河道生态建设、航道治理、河道治理等提供一定参考。

1 数学模型及数值算法

描述粒子速度分布函数f时空变化的Boltzmann方程是非常复杂的积分－微分方程，一般情况下难以求出其解析解，需要进行离散求解。LBE是Boltzmann方程在时间、空间和速度上的离散形式，由三部分组成，即粒子分布函数的演化方程、离散速度模型、平衡态分布函数。另外，还需要对边界条件进行处理。

1.1 单松弛模型

粒子分布函数的演化方程可写为

式中：x为时间步长；i为具有不同离散速度的粒子编号；ci为离散速度；Δt为时间步长；fi（x， t）为具有不同离散速度的粒子分布函数；Ωi（f）为碰撞算子，表示碰撞引起的粒子分布函数的变化规律。

碰撞算子的复杂性给式（1）的求解带来了一定困难。 1954 年，Bhatnager P.L.等［9］提出以一个简单的算子代替LBE中的碰撞项，给LBE的求解带来了很大的方便。描述粒子分布函数变化的格子Boltzmann－BGK（LBGK）方程，可表示为［10］

式中：τ为松弛时间；feiq（x，t） 为平衡态分布函数。feiq（x，t） 可按照式（3）进行计算：

式中：wi为权系数，w0＝ 4／9，w1～ w4＝ 1／9，w5～ w8＝1／36；ρ为流体密度；u为流体宏观速度；cs为格子声速，cs＝c／3，c＝Δx／Δt，Δx为空间步长，本文取 x、y 方向步长相同。

1.2 离散速度模型

在Boltzmann－BGK模型中，最常用的是 Qian Y.等［11］提出的DnQb模型，其中n为空间维数，b为粒子离散速度数目。本文采用基于离散速度的D2Q9模型，其中离散速度 ci（i＝0，1，…，8）构成的矩阵用 c表示：

1.3 多松弛模型

LBGK模型将LBE中的碰撞算子线性化，大大简化了LBE的计算过程，使LBM得到了广泛应用。然而，由于LBGK模型使用单一的松弛时间τ，因此其应用受到了一定限制。在LBGK模型提出后不久，法国学者D′Humeriers提出了一种广义的 LBE模型［12］，该模型在碰撞过程中使用多个松弛时间，解决了LBGK模型单一松弛时间的局限性，在物理原理、参数选取和数值稳定性方面都有很大优势［13］。该模型被称为MRT－LBE 模型，可用式（5）表示：

式中： Λ ＝ ［Λij］b×b， 为碰撞矩阵。

MRT－LBE模型中碰撞步骤难以实现，需要进行变换。设Λ可对角化，即存在变换矩阵M，使得

式中： diag（s1，s2，…，sb） 为以 s1，s2，…，sb为对角元素的对角矩阵。

设 f＝ ［f0（x，t），f1（x，t），…，fb－1（x，t）］T，则式（5）可写为以下矩阵形式：

则由式（6）和式（7）可得

式（9）写为分量形式为

与LBGK模型完全类似，可以先求出m，再利用式（11）进行变换：

即可求出f。

在式（9）两端均左乘以矩阵M，可得

在实际计算中，上述过程可分两步来实现，即碰撞步和迁移步，其中碰撞步可表示为

式中： f（x，t）、 f′（x，t） 分别为碰撞前、后的分布函数。迁移步可表示为

在MRT－LBE模型中，变换矩阵M为关键因素，它不但决定了每个mi的物理含义，而且对计算效率有很大的影响。不同模型对应的矩阵M也不同。针对规则正方形格子的D2Q9模型，变换矩阵M为

对角矩阵S可写为

式中：ν为流体运动黏性系数。对应的m为

式（17）中的分量为根据分布函数f定义的9个矩，其中jx和jy分别为x和y方向的动量，其他物理量没有明确的含义。

平衡态分布函数为

式中：F为系统所受外力。

1.4 含植被拖曳力的MRT－LBE模型

含有植被的天然河道受河道形态、植被拖曳力、粗糙程度等因素的影响，流速会受到一定程度的影响。本文所模拟的对象是实验室水槽中的含植被水流，渠道壁面及底部比较光滑，水槽底面坡降为0，因此水流所受外力中仅考虑拖曳力的影响。

植被群对水流的拖曳力为［14］

式中：m′为单位面积植被数量；β为不同植被类型对应的一个参数，当植被比较规则时，β＝1；CD为拖曳力系数，当植被雷诺数为1 000～10 000时，CD＝1；D为植株直径；U为进口断面水流平均流速。

LBGK作用力模型一般有3种［15］：平衡态分布的压力校正方法、平衡态分布的速度校正方法和演化方程中增加作用力项，其中第二种方法比较容易实施，且易推广到MRT－LBE模型。本文在数值模拟时，在MRT－LBE模型中考虑到拖曳力的影响，采用平衡态分布的速度校正方法。在式（19）的计算中，考虑外力作用，把F用式（20）代换即可，即

1.5 边界处理

由于水槽及植被布置均是关于水槽中心线对称，因此为了节约计算时间，只计算水槽边壁到中心线处的水流结构，而另一半不需要计算。中心线所在边界用对称边界处理格式进行处理，水槽边壁及植被边界采用标准反弹格式。进口边界给定流速，采用已知流速边界进行处理，出口边界采用充分发展边界条件进行处理［8］。

1.6 算法实现

综上所述，加入拖曳力项的MRT－LBE模型的数值模拟步骤如下：

（1）根据物理区域，选定数值模拟区域并进行空间网格剖分，确定时间步长，确定植被所在位置。

（2）根据式（15）和式（16）给出变换矩阵 M、对角阵S，并求出矩阵M的逆矩阵M－1。

（3） 初 始 化 有 关 数 据， 包 括 流 速 u（x，t） ＝［ux（x，t），uy（x，t）］T、密度 ρ（x， t）、分布函数 f（x，t） 。除进口边界给定流速外，其他位置初始流速均取0，初始密度全场取 1，初始分布函数 fi＝ wiρ（i＝ 0，1，…，b－1）。

（4）利用式（18）计算 meq（x，t） ，其中 jx、 jy的计算中考虑拖曳力的影响，利用式（21）进行计算。

（5）利用式（8），由 f（x，t） 计算 m（x，t） 。

（6）碰撞步。利用式（13）计算碰撞后的分布函数f′（x，t） 。

（7）迁移步。利用式（14）计算迁移后下一个时间步长的分布函数 f（x ＋ ciΔt，t＋ Δt） 。

（8）边界条件处理。包括进口、出口、水槽壁面及水槽中心线、植被表面等边界，利用前文方法进行相应处理。

（9）宏观物理量的计算。计算式为

（10）重复步骤（4）～步骤（9），直到达到指定的时间步长或指定精度为止。

2 数值模拟结果

2.1 实测区域

为了验证数值模拟结果，笔者在北方民族大学流体力学实验室进行了系列水槽试验。试验所用水槽长15 000 mm，宽490 mm，高500 mm。流速测量仪器为从美国TSI公司进口的三维激光多普勒测速仪（LDV），可进行非接触式测量，流速测量误差小于1%。植被用均匀圆柱玻璃棒（简称玻璃棒）来代替，玻璃棒直径分别为10、8、6 mm，长度均为500 mm，用来模拟刚性非淹没植被。

针对同一直径的玻璃棒，选取4种典型工况进行测量，玻璃棒的排列方式依次为稀疏交错、稠密交错、稀疏并排、稠密并排，分别记为工况1、工况2、工况3和工况4。植被区域长宽相等，均为490 mm。植被的横向和纵向间距均相等，在稠密布置时约为4.1 mm，稀疏布置时约为8.2 mm。4种工况下玻璃棒根数分别为38、149、35、143。不同工况植被排列方式如图1所示（图中数据均为无量纲化后的数据；由于稠密排列和稀疏排列类似，因此图1中仅给出工况1和工况3的植被位置）。

图1 不同工况植被布置

植被区域距离水槽进口约9 m，各种工况下水流流量均为0.054 m3／s。试验过程中虽然选取了3种不同的植被直径，但是由于3种直径的结果比较类似，因此本文只介绍直径为10 mm玻璃棒的试验结果，并与实测结果进行对比。4种工况的基本情况见表1。

表1 试验工况基本情况

工况植被纵向距离／mm植被横向距离／mm进口断面水深／mm来流流速／（m·s－1）流量／（m3·s－1）水流雷诺数植被雷诺数工况 1 82 82 206 0.529 0.054 262 140 5 296工况 2 41 41 254 0.430 0.054 212 600 4 595工况 3 82 82 189 0.577 0.054 285 710 5 772工况 4 41 41 235 0.464 0.054 229 790 4 642

表1中，水流雷诺数Rew和植被雷诺数Rev的计算公式分别为

式中：W为水槽宽度。

试验中，将LDV的探头水平放置，与水槽壁面垂直。水槽壁面为透明玻璃，LDV发出的激光束可以穿透壁面进入水中进行非接触式测量。经试验，LDV激光束无法穿透玻璃棒。因此，测量断面只能布置在玻璃棒间隙处。沿水流方向相邻每两根玻璃棒连线中心处布设一个实测断面，在植被群上、下游区域各布设一个实测断面。在每个实测断面上，沿横向（垂直于水槽壁面方向）在每个玻璃棒后及相邻两个玻璃棒间隙处各布设一个测点，如图2所示；沿垂向每隔10 mm为一层，根据水位高低，一般测量5～15层。每个测点采样时间为20 s。将各层数据沿垂向平均，即可得到平面二维流速分布，可与本文数值模拟结果进行对比。

图2 实测断面位置示意

2.2 数值模拟结果验证

数值模拟区域选取水槽中含植被的一段长1 530 mm的区域，其中植被区域长度为490 mm，第一排植被距离进口383 mm，下游区域长为327 mm，植被直径10 mm，数值模拟区域宽度为水槽宽度的50%，即245 mm，水槽中心线处利用对称边界条件进行处理。网格剖分采用正方形网格，模拟区域共划分1 200×192个网格。

在采用LBM方法进行数值模拟时，需进行无量纲化处理。为便于编程计算，一般取网格空间步长为1个格子单位，因此设参考长度为L∗＝1.275 mm，用实际长度除以L∗即可得到无量纲长度。处理后模拟区域长1 200，宽为192，植被区域长为384，第一排植被距离进口为300，植被直径为7.84；LBM方法中，流速一般应不大于0.25，否则容易发散，因此取参考流速为u∗＝2.645 m／s，实际流速除以 u∗即可得无量纲流速。无量纲处理后，工况1～工况4的进口平均流速分别为0.200、0.163、0.218、0.175。

采用含植被拖曳力的MRT－LBE模型对含刚性植被的水槽水流进行数值模拟。先对4种工况下含植被明渠水流分别进行平面二维数值模拟，并对典型断面处模拟流速和实测流速进行比较分析，见图3、图4（由于4种工况结果比较类似，因此仅给出了工况1和工况3的比较结果）。为了验证植被拖曳力对数值模拟结果的影响，在数值模拟中针对每种工况进行了两次数值模拟：一次不考虑拖曳力，另一次考虑拖曳力。为了比较方便，流速、长度均进行了无量纲处理，选择了3个位于植被区的代表性横断面（实际上是垂直于水槽壁面的3条线）。由图3、图4（其中x为距离第一排玻璃棒的距离）可以看出，加入拖曳力后水流流速明显减小，总体上与实测流速值更加接近，从而说明了模型中加入拖曳力的必要性和合理性。

图3 工况1典型断面处流速数值模拟结果与实测结果比较

图4 工况3典型断面处流速数值模拟结果与实测结果比较

当植被稀疏排列时（工况1和工况3），取典型断面与进口的距离依次为347、443、539。首先，加入拖曳力数值模拟流速更接近于实测流速；其次，当水流流经植被群后，会出现明显的绕流情况，流速沿断面呈锯齿状分布。水流流经玻璃棒处出现回流现象，流速减小，当处于玻璃棒之间时流速则增大。最后，由于植被区水流结构的复杂性，因此数值模拟流速与实测流速在部分点处有一定的出入，但整体上还是一致的。在植被数大致相同的情况下，交错排列的流速分布与并排排列的类似。

2.3 流速数值模拟结果比较分析

为比较植被不同排列时流速的分布情况，选取5个典型横断面，位置分别为x＝118（上游区），x＝347，x＝443，x＝539（植被间隙处，过相邻两植被连线的中心），x＝910（植被下游区）。将4种工况下的计算流速值绘制在同一幅图中，见图5。由图5（a）可以看出，在植被上游区，流速沿断面呈抛物线形分布。工况2、工况4的整体流速比工况1、工况3的要小，说明稠密植被的阻水效果更强。由图5（b）～图5（d）可以看出，穿过植被区的3个断面的流速分布较为复杂，整体流速沿断面呈犬牙交错式分布。植被附近流速较小，植被间隙处流速较大。在同一断面处，工况3的整体流速最大，其次是工况1，然后是工况2、工况4，这反映出稠密植被比稀疏植被的阻水效果明显，交错排列比并排排列的阻水效果更明显。由图5（e）可以看出，在植被区下游，流速呈U形分布，受上游植被拖曳力的影响，在渠道中心附近接近均匀分布，流速从大到小依次为工况3、工况4、工况1、工况2。从图5还可以看出，植被稀疏排列工况下（工况1和工况3）植被区流速沿横断面变幅较大，而稠密排列工况下（工况2和工况4），植被区流速沿横断面变幅较小。

图5 4种工况在不同断面处流速分布比较

为了更加准确地反映植被不同排列方式在不同断面处的流速，将4种工况下5个典型断面处的最大流速和平均流速列于表2。

表2 不同断面流速比较

断面 流速 工况1 工况2 工况3 工况4 x＝118 最大流速 0.181 6 0.136 5 0.206 5 0.165 6平均流速 0.125 0 0.101 0 0.136 6 0.110 4 x＝347 最大流速 0.137 4 0.130 2 0.167 1 0.130 1平均流速 0.111 2 0.091 1 0.122 0 0.100 7 x＝443 最大流速 0.151 5 0.119 7 0.168 0 0.128 9平均流速 0.108 0 0.088 2 0.120 6 0.100 1 x＝539 最大流速 0.125 6 0.118 0 0.146 9 0.129 9平均流速 0.104 3 0.084 6 0.117 1 0.099 7 x＝910 最大流速 0.097 6 0.077 1 0.115 4 0.198 2平均流速 0.087 4 0.071 8 0.100 6 0.086 6

由表2可以看出，5个典型断面的平均流速从大到小依次为工况3、工况1、工况4、工况2，这说明受植被拖曳力的影响，无论是植被上游区、下游区还是植被区，稀疏并排情况下水流所受植被阻力均为最小，流速最大；稠密交错情况下水流所受植被阻力最大，流速最小。断面最大流速的情况与平均流速类似，但个别断面也有所反复，如x＝910断面最大流速从大到小依次为工况4、工况3、工况1、工况2。

3 结 论

（1）在不含植被的上游区域，流速分布呈抛物线形分布，而在不含植被的下游区域，受植被拖曳力的影响，横断面水流流速分布不再是抛物线形分布，而是呈近似均匀U形分布。

（2）一般来说，植被稠密排列比稀疏排列的阻流效果更明显，交错排列比并排排列的阻流效果更明显。

（3）在植被区，受植被阻流效果影响，植被间隙处横断面的断面流速呈犬牙交错式分布。

（4）植被较为稀疏时流速沿横断面变幅较大，植被较为稠密时流速沿横断面变幅较小。

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【责任编辑 翟戌亮】

Numerical Study of Open Channel Flow with Vegetation Based on MRT⁃LBE Model

CAI Yinjuan1， JING Hefang2，3， LI Chunguang2， BAI Yuchuan3， WU Yanjie1
（1.School of Mathematics and Information Science， North University for Nationalities， Yinchuan 750021， China；2.Research Institute of Numerical Computation and Engineering Applications， North University for Nationalities， Yinchuan 750021， China；3.State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety， Tianjin University， Tianjin 300350， China）

中图分类号：TV131.2

文献标志码：A

doi：10.3969／j.issn.1000－1379.2017.10.004

收稿日期：2016－12－22

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11361002）；天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室开放基金资助项目（HESS－1718）；北方民族大学研究生创新项目（YCX1682）；北方民族大学科研项目（2014QZP05／2014XB211）。

作者简介：蔡银娟（1990—），女，宁夏青铜峡人，硕士研究生，研究方向为计算流体力学。

通信作者：景何仿（1970—），男，甘肃岷县人，副教授，博士，研究方向为计算流体力学。

E⁃mail：jinghef＠ 163.com