高考数学专题讲解：三角函数（六）

高考数学专题讲解：三角函数（六）

第十一部分：三角函数的值域计算

【和在时值域】

【值域】

；

‚；

【值域】

；

‚。

【和在时值域】

【值域】

第一步：假设：；根据的取值范围计算的取值范围。

第二步：；

第三步：画出函数的图像；

第四步：根据图像得到：的取值范围；

第五步：根据的取值范围计算的取值范围。

【值域】

第一步：假设：；根据的取值范围计算的取值范围。

第二步：；

第三步：画出函数的图像；

第四步：根据图像得到：的取值范围；

第五步：根据的取值范围计算的取值范围。

【三角函数值域的相关例题】

【例题一】：【2017年高考文科数学北京卷】已知函数。

（Ⅰ）的最小正周期；

（Ⅱ）求证：当时，。

【本题解析】：（Ⅰ）根据余弦函数的两角差定义得到：

；

根据三角函数的半角公式得到：；

根据三角函数的辅助角公式得到：。

所以：函数的最小正周期：。

（Ⅱ）设：，；；

如下图所示：

所以：。

【例题二】：【2017年高考理科数学新课标Ⅱ卷】函数的最大值是。

【本题解析】：根据三角函数的同角之间基本关系得到：；

；

假设：，；；

对称轴：；。

【本题答案】：

【例题三】：【2017年高考理科数学山东卷】设函数，其中。已知。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求在上的最小值。

【本题解析】：（Ⅰ）根据正弦函数的两角差公式得到：

；

根据三角函数的诱导公式得到：；

。

根据三角函数的辅助角公式得到：

。

，。

（Ⅱ）；

的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）得到：；

的图像向左平移个单位得到：。

设：；

如下图所示：

所以：当。

【本题答案】：（Ⅰ）；（Ⅱ）

【例题四】：【2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷】函数的最大值为。

【本题解析】：根据三角函数的辅助角公式得到：；

假设：，

。

【本题答案】：

【例题五】：【2017年高考文科数学新课标Ⅲ卷】函数的最大值为（       ）

A、                B、               C、               D、            

【本题解析】：根据正弦定理的两角和公式得到：

；

根据余弦函数的两角差公式得到：；

；

根据三角函数的辅助角公式得到：

。

【本题答案】：

【例题六】：【2016年高考文科数学上海卷第5题】若函数的最大值为5，则常数      。

【本题解析】：根据三角函数的辅助角公式得到：

；

假设：，；

。

【本题答案】：

【三角函数值域的跟踪训练】

【跟踪训练一】：【2016年高考文科数学新课标Ⅱ卷第11题】函数的最大值为

（        ）

A、                    B、                    C、                 D、

【本题解析】：

【跟踪训练二】：【2015年高考理科数学天津卷】已知函数，。

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。

【本题解析】：

 

【跟踪训练三】：【2015年高考理科数学陕西卷】如图，某港口一天6时到18时的水深度变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：米）的最大值为（          ）

A、5                        B、6                         C、8                    D、10

【本题解析】：

 

【跟踪训练四】：【2015年高考文科数学安徽卷】已知函数。

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。

【本题解析】：

 

【跟踪训练五】：【2015年高考理科数学北京卷】已知函数。

（Ⅱ）求在区间上的最小值。

【本题解析】：

 

【跟踪训练六】：【2015年高考文科数学北京卷】已知函数。

（Ⅱ）求在区间上的最小值。

【本题解析】：

【跟踪训练的参考答案】

【跟踪训练一】：【2016年高考文科数学新课标Ⅱ卷第11题】函数的最大值为

（        ）

A、                    B、                    C、                 D、

【本题解析】：根据三角函数的诱导公式得到：；

根据三角函数的二倍角公式得到：；

；

假设：，；

；

二次函数的对称轴：，单调递增

，。

【本题答案】：

【跟踪训练二】：【2015年高考理科数学天津卷】已知函数，。

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。

【本题解析】：

。

假设：，，；

如下图所示：

所以：当时：；

；。

【本题答案】：；

【跟踪训练三】：【2015年高考理科数学陕西卷】如图，某港口一天6时到18时的水深度变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：米）的最大值为（          ）

A、5                        B、6                         C、8                    D、10

【本题解析】：。

【本题答案】：

【跟踪训练四】：【2015年高考文科数学安徽卷】已知函数。

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。

【本题解析】：

。

假设：，，；

如下图所示：

所以：当时：

所以：；

【本题答案】：；

【跟踪训练五】：【2015年高考理科数学北京卷】已知函数。

（Ⅱ）求在区间上的最小值。

【本题解析】：（Ⅱ）

。

假设：，；；

如下图所示：

所以：当时：

【本题答案】：

【跟踪训练六】：【2015年高考文科数学北京卷】已知函数。

（Ⅱ）求在区间上的最小值。

【本题解析】：（Ⅱ）

。

假设：，，；

如下图所示：

所以：当时：

。

【本题答案】：