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通过对全国各地高考数学试卷进行分析和研究，我们发现与三角函数、三角恒等变换和解三角形等有关的试题，一直是高考数学必考的热点。 对于三角函数这部分内容，高考数学除了考查基础知识和方法技巧之外，更加注重化归与转化的思想方法的渗透，注重整体思想的运用，注重与其他知识的综合等。 遇到三角函数类问题，一般是先进行恒等变换，再利用三角函数图象和性质进行解题。因此，考生在复习期间，要掌握好三角函数的图像与性质，深刻理解相关的性质定理，提高分析问题和解决问题的能力，特别是要努力去提高演绎推理能力、计算能力、综合应用知识解决问题的能力，这些都是高考数学重点考查对象。 大家要记住：高考考的不仅仅是一个人掌握多少知识内容，更主要考查一个人运用知识的能力。 周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期。 因此，学好三角函数的图像与性质，就要先掌握好周期函数这一概念。 什么是周期函数的定义？ 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。 T叫做这个函数的周期。 三角函数的图像与性质，典型例题分析1：已知函数f(x)＝（sinx-cosx）sin2x/sinx. (1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间． 解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)， 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． 因为f(x)＝（sinx-cosx）sin2x/sinx ＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin 2x－cos 2x－1 ＝√2sin（2x-π/4）－1， 所以f(x)的最小正周期T＝2π/2＝π. (2)函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ-π/2,2kπ+π/2] (k∈Z)． 由2kπ－π/2≤2x－π/4≤2kπ＋π/2，x≠kπ(k∈Z)， 得kπ－π/8≤x≤kπ＋3π/8，x≠kπ(k∈Z)． 所以f(x)的单调递增区间为[kπ-π/8，kπ）和（kπ，kπ+3π/8](k∈Z)． 求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内。 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同。 三角函数的图像与性质，典型例题分析2：已知函数f(x)＝2sin(π－x)cos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[-π/6，π/2]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cos x＝2sin xcos x＝sin 2x， ∴函数f(x)的最小正周期为π. (2)∵－π/6≤x≤π/2， ∴－π/3≤2x≤π， 则－√3/2≤sin 2x≤1. 所以f(x)在区间[-π/6，π/2]上的最大值为1，最小值为－√3/2. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 三角函数的图象与性质、三角恒等变换和解三角形问题都是高考数学三角函数部分主要考查对象，考生学会把握命题意图与考点，找到突破方法技巧，获得正确的结论。 三角函数的图像与性质，典型例题分析3：设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（φ＞0，|φ|＜π/2），给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π； ②它的图象关于直线x＝π/12成轴对称图形； ③它的图象关于点（π/3,0）成中心对称图形； ④在区间[-π/6,0）上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论， 写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)． 答案：①②⇒③④(或①③⇒②④) 求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： 1、利用sin x、cos x的值域； 2、形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))； 3、换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题。 三角函数的图像与性质，典型例题分析4：设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π/8. (1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象． 近几年高考数学对三角函数图像与性质的考查，无论是从内容还是题量和分值设置上，变化不大，难度适中。不过在一些综合问题中，蕴含着化归思想、分类讨论思想、函数思想等数学思想方法，考生在平时复习过程一定要多加注意。 |
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