数学一轮复习22，三角函数的图象及性质，掌握4个考点

【考试要求】

1.能画出三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；

2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质.

【知识梳理】

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

【微点提醒】

1.对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.

【考点聚焦】

考点一　三角函数的定义域

【规律方法】

1.三角函数定义域的求法

(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.

(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.

2.简单三角不等式的解法

(1)利用三角函数线求解.

(2)利用三角函数的图象求解.

考点二　三角函数的值域与最值

【规律方法】　求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).

考点三　三角函数的单调性

角度1　求三角函数的单调区间

角度2　利用单调性比较大小

角度3　利用单调性求参数

【规律方法】

1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.

2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.

考点四　三角函数的周期性、奇偶性、对称性

角度1　三角函数奇偶性、周期性

【反思与感悟】

1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.

2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t(或y＝cos t)的性质.

3.数形结合是本节的重要数学思想.

【易错防范】

1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.

3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.