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数学一轮复习22,三角函数的图象及性质,掌握4个考点

 Hi老刘老师 2019-08-02

【考试要求】

1.能画出三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值;

2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在上的性质.

【知识梳理】

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

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【微点提醒】

1.对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.

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【考点聚焦】

考点一 三角函数的定义域

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【规律方法】

1.三角函数定义域的求法

(1)以正切函数为例,应用正切函数y=tan x的定义域求函数y=Atan(ωx+φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.

(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.

2.简单三角不等式的解法

(1)利用三角函数线求解.

(2)利用三角函数的图象求解.

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考点二 三角函数的值域与最值

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【规律方法】 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型:

(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);

(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);

(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).

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考点三 三角函数的单调性

角度1 求三角函数的单调区间

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角度2 利用单调性比较大小

角度3 利用单调性求参数

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【规律方法】

1.已知三角函数解析式求单调区间:(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.

2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.

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考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性

角度1 三角函数奇偶性、周期性

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【反思与感悟】

1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式.

2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sin t(或y=cos t)的性质.

3.数形结合是本节的重要数学思想.

【易错防范】

1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.

2.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0时情况,避免出现增减区间的混淆.

3.求三角函数的单调区间时,当单调区间有无穷多个时,别忘了注明k∈Z.

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