在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 例12. 求函数的值域。 解:原函数可化简得:y=|x-2|+|x+8| 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。 由上图可知,当点P在线段AB上时,y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10 故所求函数的值域为: 例13. 求函数的值域。 解:原函数可变形为: 上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和, 由图可知当点P为线段与x轴的交点时,, 故所求函数的值域为 例14. 求函数的值域。 解:将函数变形为: 上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。 即:y=|AP|-|BP| 由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P',则构成△ABP',根据三角形两边之差小于第三边,有 即: (2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有 综上所述,可知函数的值域为: 注:由例13,14可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。 如:例13的A,B两点坐标分别为:(3,2),(-2,-1),在x轴的同侧;例14的A,B两点坐标分别为(3,2),(2,-1),在x轴的同侧。 9. 不等式法 利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例15. 求函数的值域。 解:原函数变形为: 当且仅当tanx=cotx 即当时,等号成立 故原函数的值域为: 例16. 求函数y=2sinxsin2x的值域。 解:y=4sinxsinxcosx 当且仅当,即当时,等号成立。 由可得: 故原函数的值域为: 10. 映射法 原理:因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。 例17. 求函数的值域。 解:∵定义域为 由得 故或 解得 故函数的值域为 11.最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛,地址 www. 手机版地址 wap.] 例18.已知,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。 解:∵,上述分式不等式与不等式同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得(-1≤x≤3/2), ∴且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。 当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。 ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。 点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。 12.构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。 例19.求函数的值域。 点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位正方形。设HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,,。 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为{y|y≥5}。 点评:对于形如函数(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 13.比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。 例20.已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数的值域。 点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。 解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴。 当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,。 函数的值域为{z|z≥1}. 点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。 14.利用多项式的除法 例21.求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0,故y≠3。 ∴函数y的值域为y≠3的一切实数。 点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 15. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。 解:令,则 (1)当t>0时,,当且仅当t=1,即x=-1时取等号,所以 (2)当t=0时,y=0。 综上所述,函数的值域为: 注:先换元,后用不等式法 例23. 求函数的值域。 解: 令,则 ∴ ∴当时, 当时, 此时都存在,故函数的值域为 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用的有界性。 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
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