三角函数的图象和性质

本讲教育信息】

一. 教学内容：

三角函数的图象和性质

 

二. 学习目标：

1、了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，理解的物理意义，掌握由函数的图象到函数的图象的变换原理．

2、掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的意义，会求经过简单的恒等变形可化为或的三角函数的周期．掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题．

3、通过对正弦函数性质的学习，培养“看图说话”的能力，即图形语言、文字语言与符号语言的转换，从而达到从直观到抽象的飞跃。

 

三. 知识要点

1、三角函数的图象与性质：

        y＝sinx                y＝cosx                     y＝tanx      

    

定义域：   R                   R                        

值域： ［－1，1］          ［－1，1］                       R      

周期：  　2π                  2π                         π                  

奇偶性： 奇函数               偶函数                        奇函数               

单调区间：

增区间     ；             

减区间                            无

对称轴：                            无

对称中心：                                     

（以上）

2、

①用五点法作图

	0
	0	A	0	－A	0

②图象变换：平移、伸缩两个程序

（1）一般地，函数y＝sin（x＋），x∈R（其中≠0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当＞0时）或向右（当＜0时平行移动｜｜个单位长度而得到，这一变换称为相位变换。

（2）函数y＝sinωx， x?R （ω>0且ω11）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）到原来的倍（纵坐标不变），ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换。

（3）一般地，函数y＝Asin（ωx＋），x∈R（其中A＞0，ω＞0）的图象，可以看作用下面的方法得到：

先把正弦曲线上所有的点向左（当＞0时）或向右（当＜0时平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时到原来的A倍（横坐标不变）。

A－－振幅，－－周期，－－频率，，

3、图象的对称性

①的图象既是中心对称图形又是轴对称图形。

②的图象是中心对称图形，有无穷多条垂直于x轴的渐近线。

4、①“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高点、一个最低点；

②给出图象求的解析式的难点在于的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期，进而确定．

5、三角函数式的求值的类型一般可分为：

（1）“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角

（2）“给值求值”：给出一些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解

（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。

（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之

 

【典型例题】

例1. 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0。

（1）sin（－）－sin（－）；

（2）（－）－（－）．

解：（1）∵－＜－＜－＜．

且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数。

∴sin（－）＜sin（－）

即sin（－）－sin（－）＞0

（2）sin（－）＝－sin＝－sin＝－sin＝－sin

sin（－）＝－sin＝－sin

∵0＜＜＜

且函数y＝sinx，当x∈［0，］时是增函数

∴sin＜sin

－ sin－ sin

∴sin（－）－sin（－）＜0

 

例2. 求下列函数的最值

（1）y＝－9cosx＋1；   

（2）

解：（1）∵ －1≤cosx≤1，

∴ －8≤－3cosx＋1≤10。

即， 。

（2） ∵ －1≤cosx≤1，

∴ 当cosx＝时，，

当cosx＝－1时，。

 

例3. 求函数的单调区间。

解：原函数变形为

令，则只需求的单调区间即可。

（）上

即（）上单调递增，

在上

即上单调递减

故的递减区间为：

递增区间为：.

思维点拔：要注意子函数的单调性，若函数为则变形为即可。

 

例4. （1）已知函数，该函数的图象可由的图象经怎样的平移和伸缩变换得到？

解：①将函数的图象向左平移得函数的图象；

②将所得图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数的图象，

③将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得函数的图象，

④将所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象。

（2）如图为某三角函数图象的一段，用正弦函数写出其中一个解析式。

思路分析：由T定，由最值定A，由特殊值定。

解：

由图可知它过点（为其中一个值）

 

例5. 是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由。

解：

当时，，令则，

综上可知，存在符合题意。

 

本讲涉及的主要数学思想方法

1、正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会数形结合的思想方法。

2、通过对图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

3、利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讨论等数学思想方法。

 

【模拟试题】（答题时间：70分钟）

一、选择题

1、函数y＝－x·cosx的部分图象是（    ）

   

2、函数f（x）＝cos2x＋sin（＋x）是（    ）

A. 非奇非偶函数                       B. 仅有最小值的奇函数

C. 仅有最大值的偶函数             D. 既有最大值又有最小值的偶函数

3、若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin（x＋），则原来的函数表达式为（     ）

A. y＝sin（x＋）             B. y＝sin（x＋）

C. y＝sin（x－）              D. y＝sin（x＋）－

**4、下列命题不正确的是（   ）

A. 是偶函数

B. 是奇函数

C. 既是奇函数又是偶函数

D. 是偶函数。

*5、①函数在它的定义域内是增函数；②若、是第一象限角，且，则；③函数一定是奇函数；④函数的最小正周期为．上列四个命题中，正确的命题是（    ）

A. ①        B. ④        C. ①、②       D. ②、③

6、函数的单调减区间为（    ）

A.

B.

C.

D.

 

二、填空题

7、设ω＞0，若函数f（x）＝2sinωx在［－，］上单调递增，则ω的取值范围是_______。

8、函数y＝ksinx＋b的最大值为2，最小值为－4，则k，b的值为________。

**9、设函数，给出以下四个论断：

①它的图象关于直线对称；

②它的图象关于点（，0）对称；

③它的最小正周期是；

④在区间[]上是增函数。

以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出一个正确的命题：

条件_____________，结论____________。

 

三、解答题

10、比较与的大小。

*11、求函数的定义域、值域、单调性、周期性、最值。

**12、设关于x的函数y＝2cos²x－2acosx－（2a＋1）的最小值为f（a），试确定满足f（a）＝的a的值，并对此时的a值求y的最大值。

 

【试题答案】

1、解析：∵函数y＝－xcosx是奇函数，∴图象不可能是A和C，又当x∈（0，）时，y＜0。

答案：D

2、解析：f（x）＝cos2x＋sin（＋x）＝2cos²x－1＋cosx＝2［（cosx＋）－1。

答案：D

3、A

4、D

5、B

6、B

7、解：由－≤ωx≤，得f（x）的递增区间为［－，］，由题设得

8、解：当k>0时

当k<0时 （矛盾，舍去）  ∴k＝3  b＝－1

9、②③①④或①③②④

10、解：，

，

又：内单调递增，

11、定义域：

  值域： 

单调增区间：

单调减区间：

周期：

最值：当

当

12、解：由y＝2（cosx－）²－及cosx∈［－1，1］得：

f（a）＝

∵f（a）＝，

∴1－4a＝a＝［2，＋∞

或－－2a－1＝，解得a＝－1，

此时，y＝2（cosx＋）²＋，

当cosx＝1时，即x＝2kπ，k∈Z，y_max＝5。