三角函数常见题型

三角函数常见题型

 

二、高考要求：

了解三角函数的图象与性质，理解同角关系；掌握三角函数的两角和（差）的正弦、余弦和正切；理解正余弦定理并会应用．

 

【典型例题】

I、三角函数的图象与性质

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来．本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用．

例1、函数的图象为，如下结论中正确的是         （写出所有正确结论的编号）．

①图象关于直线对称；

②图象关于点对称；

③函数在区间内是增函数；

④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．

答案：①②③

 

例2、下面有五个命题：

①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是．

②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|．

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．

④把函数

⑤函数

其中真命题的序号是       ① ④    （写出所有真命题的编号）

解析：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．

 

例3、设z₁=m+（2－m²）i，z₂=cosθ+（λ+sinθ）i，其中m，λ，θ∈R，已知z₁=2z₂，求λ的取值范围．

命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用．

知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决．

错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题．

技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题．

解法一：∵z₁=2z₂，

∴m+（2－m²）i=2cosθ+（2λ+2sinθ）i，∴

∴λ=1－2cos²θ－sinθ=2sin²θ－sinθ－1=2（sinθ－）²－．

当sinθ=时，λ取最小值－，当sinθ=－1时，λ取最大值2．

解法二：∵z₁=2z₂  ∴

∴，

∴=1．

∴m⁴－（3－4λ）m²+4λ²－8λ=0，设t=m²，则0≤t≤4，

令f（t）=t²－（3－4λ）t+4λ²－8λ，则或f（0）·f（4）≤0

∴

∴－≤λ≤0或0≤λ≤2．

∴λ的取值范围是［－，2］．

 

例4、如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．

（1）求这段时间的最大温差．

（2）写出这段曲线的函数解析式．

命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则．

知识依托：依据图象正确写出解析式．

错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母．

技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式．

解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30－10=20（℃）；

（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期的图象．

∴=14－6，解得ω=，由图示A=（30－10）=10，b=（30+10）=20，这时y=10sin（x+φ）+20，将x=6，y=10代入上式可取φ=π．综上所求的解析式为y=10sin（x+

π）+20，x∈［6，14］．

 

例5、已知函数f（x）=2cosxsin（x+）－sin²x+sinxcosx

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的值；

命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力．

知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识．

错解分析：在求f^-－1（1）的值时易走弯路．

技巧与方法：等价转化，逆向思维．

解：（1）f（x）=2cosxsin（x+）－sin²x+sinxcosx

=2cosx（sinxcos+cosxsin）－sin²x+sinxcosx

=2sinxcosx+cos2x=2sin（2x+）

∴f（x）的最小正周期T=π

（2）当2x+=2kπ－，即x=kπ－（k∈Z）时，f（x）取得最小值－2．

方法归纳：

本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：

1、考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用．

2、三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．

3、三角函数与实际问题的综合应用．

此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用．

 

II、三角函数的式值

例6、下列各式中，值为的是（　　）

（A）                            （B）

（C）                                   （D）

    答案：B

 

例7、不查表求sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°的值．

命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高．

知识依托：熟知三角公式并能灵活应用．

错解分析：公式不熟，计算易出错．

技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会．

解法一：sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°

=（1－cos40°）+（1+cos160°）+ sin20°cos80°

=1－cos40°+cos160°+sin20°cos（60°+20°）

=1－cos40°+（cos120°cos40°－sin120°sin40°）+sin20°（cos60°cos20°－sin60°sin20°）

=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin²20°

=1－cos40°－（1－cos40°）=

解法二：设x=sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°

y=cos²20°+sin²80°－cos20°sin80°，则

x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°

=－2sin100°sin60°+sin100°=0

∴x=y=，即x=sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°=．

 

例8、已知<<<，

（I）求的值．

（II）求．

分析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力．

解：（I）由，得

∴，于是

（II）由，得

又∵，∴

由得：

所以

 

例9、设关于x的函数y=2cos²x－2acosx－（2a+1）的最小值为f（a），试确定满足f（a）=的a值，并对此时的a值求y的最大值．

命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力．

知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题．

错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错．

技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等．

解：由y=2（cosx－）²－及cosx∈［－1，1］得：

f（a）=

∵f（a）=，∴1－4a=a=［2，+∞

故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，

y=2（cosx+）²+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，y_max=5．

●方法归纳：

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

1、求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值．

2、技巧与方法：

1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式．

2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用．

3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法．

4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决．

 

III、三角函数的综合运用

三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧．

例10、在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C处．

（1）求船的航行速度是每小时多少千米；

（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？

命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力．

知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系．

错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错．

技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题．

解：（1）在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB=（千米）

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=（千米）

在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

（2）∠DAC=90°－60°=30°

sinDCA=sin（180°－∠ACB）=sinACB=

sinCDA=sin（∠ACB－30°）=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°．

在△ACD中，据正弦定理得，

∴

答：此时船距岛A为千米．

 

例11、解不等式．

分析：本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．

解：因为对任意，，所以原不等式等价于．

即，，，故解为．

所以原不等式的解集为．

 

例12、设函数，，

其中，将的最小值记为．

（I）求的表达式；

（II）讨论在区间内的单调性并求极值．

分析：本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．

解：（I）我们有

               

               

               ．

由于，，故当时，达到其最小值，即

．

（II）我们有．

列表如下：

		极大值		极小值

由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．

 

例13、已知为的最小正周期，，且a·b．求的值．

分析：本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．

解：因为为的最小正周期，故．

因，又．故．

由于，所以

．

 

例14、已知函数，．

（I）求的最大值和最小值；

（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

分析：本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．

解：（Ⅰ）

．

又，，即，

．

（Ⅱ），，

且，

，即的取值范围是．

 

例15、如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．

（1）求和的值；

（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．

解：（1）将，代入函数中得，

因为，所以．

由已知，且，得．

（2）因为点，是的中点，．

所以点的坐标为．

又因为点在的图象上，且，所以，

，从而得或，

即或．

 

【模拟试题】

1、是第四象限角，，则            ．

2、给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若sin²A+sin²B+sin²C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A－B）cos（B－C）cos（C－A）=1，则△ABC为正三角形．以上正确命题的个数是         ．

3、在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为__________．

4、函数f（x）=（）^｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________．

5、设ω＞0，若函数f（x）=2sinωx在［－］上单调递增，则ω的取值范围是_________．

6、已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值_________．

7、在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos（2A+C）=－，sinB=，则cos2（B+C）=__________．

8、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．

9、函数的最小正周期和最大值分别为      ，        ．

10、在中，已知，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

11、已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．

12、已知α、β为锐角，且x（α+β－）＞0，试证不等式f（x）=^x＜2对一切非零实数都成立．

13、是否存在实数a，使得函数y=sin²x+a·cosx+a－在闭区间［0，］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由．

14、设二次函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），已知不论α、β为何实数恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0．

（1）求证：b+c=－1；

（2）求证c≥3；

（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b，c的值．

【试题答案】

1、答案：

2、答案：2

解析：其中（3）（4）正确．

3、解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，

答案：

4、答案：

解：在［－π，π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－，0］及［，π］．而f（x）依｜cosx｜取值的递增而递减，故［－，0］及［，π］为f（x）的递减区间．

5、解：由－≤ωx≤，得f（x）的递增区间为［－，］，由题设得

6、解法一：∵＜β＜α＜，∴0＜α－β＜．π＜α+β＜，

∴sin（α－β）=

∴sin2α=sin［（α－β）+（α+β）］

=sin（α－β）cos（α+β）+cos（α－β）sin（α+β）

解法二：∵sin（α－β）=，cos（α+β）=－，

∴sin2α+sin2β=2sin（α+β）cos（α－β）=－

sin2α－sin2β=2cos（α+β）sin（α－β）=－

∴sin2α=

7、解析：∵A为最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°．

∵cos（2A+C）=－，∴sin（2A+C）=．

∵C为最大角，∴B为锐角，又sinB=．故cosB=．

即sin（A+C）=，cos（A+C）=－．

∵cos（B+C）=－cosA=－cos［（2A+C）－（A+C）］=－，

∴cos2（B+C）=2cos²（B+C）－1=．

答案：

8、解：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积：

S=S_△ABD+S_△CDB=·AB·ADsinA+·BC·CD·sinC

∵A+C=180°，∴sinA=sinC

故S=（AB·AD+BC·CD）sinA=（2×4+6×4）sinA=16sinA

由余弦定理，在△ABD中，BD²=AB²+AD²－2AB·AD·cosA=20－16cosA

在△CDB中，BD²=CB²+CD²－2CB·CD·cosC=52－48cosC

∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，

∴64cosA=－32，cosA=－，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8．

9、答案：

10、（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，

． 所以．

（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是

，

，

．

．

11、（Ⅰ）解：．

因此，函数的最小正周期为．

（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，

，

故函数在区间上的最大值为，最小值为．

解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：

由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为

12、证明：若x＞0，则α+β＞∵α、β为锐角，

∴0＜－α＜β＜;0＜－β＜，

∴0＜sin（－α）＜sinβ．0＜sin（－β）＜sinα，

∴0＜cosα＜sinβ，0＜cosβ＜sinα，∴0＜＜1，0＜＜1，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=2．

若x＜0，α+β＜，∵α、β为锐角，

0＜β＜－α＜，0＜α＜－β＜，0＜sinβ＜sin（－α），

∴sinβ＜cosα，0＜sinα＜sin（－β），

∴sinα＜cosβ，∴＞1， ＞1，

∵f（x）在（－∞，0）上单调递增，∴f（x）＜f（0）=2，∴结论成立．

 

13、解：

综合上述知，存在符合题设．

14、解：（1）∵－1≤sinα≤1且f（sinα）≥0恒成立，∴f（1）≥0

∵1≤2+cosβ≤3，且f（2+cosβ）≤0恒成立．∴f（1）≤0．

从而知f（1）=0∴b+c+1=0．

（2）由f（2+cosβ）≤0，知f（3）≤0，∴9+3b+c≤0．又因为b+c=－1，∴c≥3．

（3）∵f（sinα）=sin²α+（－1－c）sinα+c=（sinα－）²+c－²，

当sinα=－1时，［f（sinα）］_max=8，由解得b=－4，c=3．