高中数学竞赛讲义（六） ──三角函数

高中数学竞赛讲义（六）

──三角函数

一、基础知识

定义1  角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

定义2  角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。

定义3  三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=

定理1  同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin²α+cos²α=1, tan²α+1=sec²α, cot²α+1=csc²α.

定理2  诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3  正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.

定理4  余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.

定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。

定理6  两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=

定理7  和差化积与积化和差公式:

sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,

cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

定理8  倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α,

 

tan2α=

定理9  半角公式:sin=,cos=,

tan==

定理10  万能公式: , ,

定理11  辅助角公式：如果a, b是实数且a²+b²0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.

asinα+bcosα=sin(α+β).

定理12  正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。

定理13  余弦定理：在任意△ABC中有a²=b²+c²-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。

定理14  图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。

定义4  函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

定理15  三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)ⁿarcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.

定理16  若，则sinx<x<tanx.

二、方法与例题

1．结合图象解题。

例1  求方程sinx=lg|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

2．三角函数性质的应用。

例2  设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。

【解】  若，则cosx≤1且cosx>-1，所以cos，

所以sin(cosx) ≤0,又0<sinx≤1, 所以cos(sinx)>0，

所以cos(sinx)>sin(cosx).

若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<，

所以0<sinx<-cosx<，

所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).

综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)<sin(cosx).

例3  已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：

【证明】  若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosα<cos(-β)=sinβ,

所以0<<1，又sinα>sin(-β)=cosβ, 所以0<<1，

所以       

若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,

所以>1。又0<sinα<sin(-β)=cosβ，所以>1，

所以，得证。

注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。

3．最小正周期的确定。

例4  求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

【解】  首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,

所以若最小正周期为T₀，则T₀=mπ, m∈N₊，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T₀=2π。

4．三角最值问题。

例5  已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。

【解法一】  令sinx=,

则有y=

因为，所以，

所以≤1，

所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，y_min=0，

 

当，即x=2kπ+(k∈Z)时，y_max=2.

【解法二】  因为y=sinx+,

=2（因为(a+b)²≤2(a²+b²)），

且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，

所以当=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)时, y_max=2，

当=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)时, y_min=0。

例6  设0<<π，求sin的最大值。

【解】因为0<<π，所以，所以sin>0, cos>0.

所以sin（1+cos）=2sin·cos²= ≤=

 

当且仅当2sin²=cos², 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。

例7  若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。

【解】  因为sinA+sinB=2sincos, ①

sinC+sin,          ②

又因为，③

由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,

所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,

当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）_max=.

注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。

5．换元法的使用。

例8  求的值域。

【解】  设t=sinx+cosx=

因为

所以

又因为t²=1+2sinxcosx,

所以sinxcosx=，所以，

所以

因为t-1，所以，所以y-1.

所以函数值域为

 

例9  已知a₀=1, a_n=(n∈N₊)，求证：a_n>.

【证明】 由题设a_n>0，令a_n=tana_n, a_n∈，则

a_n=

因为，a_n∈，所以a_n=，所以a_n=

又因为a₀=tana₁=1，所以a₀=，所以·。

又因为当0<x<时，tanx>x，所以

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

另外当x∈时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。

6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0).

由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。

例10  例10  已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。

【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。

又0≤≤π，解得=，

因为f(x)图象关于对称，所以=0。

取x=0，得=0，所以sin

所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z).

又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；

取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；

取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，

综上，=或2。

7．三角公式的应用。

例11  已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。

【解】   因为α-β∈，所以cos(α-β)=-

又因为α+β∈，所以cos(α+β)=

所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,

cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

例12  已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。

【解】  因为A=120⁰-C，所以cos=cos(60⁰-C)，

又由于

=，

所以=0。

解得或。

又>0，所以。

例13  求证：tan20+4cos70.

【解】  tan20+4cos70=+4sin20

 

 

三、基础训练题

1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。

2．适合-2cscx的角的集合为___________。

3．给出下列命题：（1）若αβ，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα>0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。

4．已知sinx+cosx=(x∈(0, π))，则cotx=___________。

5．简谐振动x₁=Asin和x₂=Bsin叠加后得到的合振动是x=___________。

6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+₁)=5sin(x-₂)=5cos(x+₃)=5cos(x-₄)，则₁，₂，₃，₄分别是第________象限角。

7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。

8．已知，则=___________。

9．=___________。

10．cot15cos25cot35cot85=___________。

11．已知α,β∈(0, π), tan, sin(α+β)=，求cosβ的值。

12．已知函数f(x)=在区间上单调递减，试求实数m的取值范围。

四、高考水平训练题

1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________.

2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.

3. 函数的值域为__________.

4. 方程=0的实根个数为__________.

5. 若sina+cosa=tana, a，则__________a（填大小关系）.

6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.

7. 若0<y≤x<且tanx=3tany，则x-y的最大值为__________.

8. =__________.

9. ·cos·cos·cos·cos=__________.

10. cos²71+cos71cos49+cos²49=__________.

11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.

12. 求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x.

13. 已知f(x)=(kA0, k∈Z, 且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0, k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

 

五、联赛一试水平训练题（一）

1．若x, y∈R，则z=cosx²+cosy²-cosxy的取值范围是____________.

2．已知圆x²+y²=k²至少盖住函数f(x)=的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是____________.

3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________.

4．方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________.

5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.

6．设sina>0>cosa, 且sin>cos，则的取值范围是____________.

7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解.

8．若x, y∈R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.

9．若0<<, m∈N₊, 比较大小：(2m+1)sin^m(1-sin)__________1-sin^2m+1.

10．cot70+4cos70=____________.

11. 在方程组中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。

12．已知α，β，γ，且cos²α+cos²β+cos²γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。

13．关于x, y的方程组有唯一一组解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。

14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x, y）, x, y.

联赛一试水平训练题（二）

1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是__________.

2．若，则y=tan-tan+cos的最大值是__________.

3．在△ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a²+9b²-19c²=0，则=__________.

4．设f(x)=x²-πx, α=arcsin, β=arctan, γ=arccos, δ=arccot, 将f(α), f(β), f(γ), f(δ)从小到大排列为__________.

5．log_sin1cos1=a, log_sin1tan1=b, log_cos1sin1=c, log_cos1tan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为__________.

6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，则tanα·tanβ·tanγ=__________.

7．已知矩形的两边长分别为tan和1+cos(0<<π)，且对任何x∈R, f(x)=sin·x²+·x+cos≥0，则此矩形面积的取值范围是__________.

8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________.

9．已知当x∈[0, 1]，不等式x²cos-x(1-x)+(1-x)²sin>0恒成立，则的取值范围是__________.

10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos²x+ cos²y+ cos²z=__________.

11．已知a₁, a₂, …,a_n是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a₁+x)+cos(a₂+x) +…+cos(a_n+x)。求证：若实数x₁, x₂满足f(x₁)=f(x₂)=0，则存在整数m，使得x₂-x₁=mπ.

12．在△ABC中，已知，求证：此三角形中有一个内角为。

13．求证：对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>.

 

六、联赛二试水平训练题

1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）.

2. 已知a为锐角，n≥2, n∈N⁺，求证：≥2ⁿ-2+1.

3. 设x₁, x₂,…, x_n,…, y₁, y₂,…, y_n,…满足x₁=y₁=, x_n+1=x_n+, y_n+1=，求证：2<x_ny_n<3(n≥2).

4．已知α，β，γ为锐角，且cos²α+cos²β+cos²γ=1，求证；π<α+β+γ<π.

5．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意，恒有(x+3+2sincos)²+(x+asin+asin)2≥

6. 设n, m都是正整数，并且n>m，求证：对一切x都有2|sinⁿx-cosⁿx|≤3|sinⁿx-cosⁿx|.

7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。

8．求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2ⁿa, …中的每一项均为负数。

9．已知_i，tan₁tan₂…tan_n=2, n∈N⁺, 若对任意一组满足上述条件的

₁，₂，…，_n都有cos₁+cos₂+…+cos_n≤λ，求λ的最小值。

 

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