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高中数学第四章-三角函数 考试内容： 角的概念的推广．弧度制． 任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切． 正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 考试要求： （1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算． （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义． （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα·cosα=1”． §04. 三角函数 知识要点 1. ①与?（0°≤?＜360°）终边相同的角的集合（角?与角?的终边重合）： |??k?360 ,k?Z ②终边在x轴上的角的集合： ??|??k?180?,k?Z? ③终边在y轴上的角的集合：??|??k?180?90,k?Z? ④终边在坐标轴上的角的集合：??|??k?90?,k?Z? ⑤终边在y=x轴上的角的集合：??|??k?180??45?,k?Z? ⑥终边在y x SIN\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 轴上的角的集合：??|??k?180?45,k?Z? ⑦若角?与角?的终边关于x轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?? ⑧若角?与角?的终边关于y轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?180??? ⑨若角?与角?的终边在一条直线上，则角?与角?的关系：??180?k?? ⑩角?与角?的终边互相垂直，则角?与角?的关系：??360?k???90? 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 ≈0.01745（rad） 3、弧长公式：l?|?|?r. 扇形面积公式：s扇形? 12 lr? 12 |?|?r 2 4、三角函数：设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 sin? cos?? xr ； tan? yx ； cot? xy ； sec? rx ；. csc? 5、三角函数在各象限的符号： 正弦、余割 余弦、正割 正切、余切 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 16. 几个重要结论:(3) 若 o<x<,则sinx<x<tanx 2 cos? tan? 8、同角三角函数的基本关系式：sin? tan??cot??1 csc??sin??1 2 2 2 cos?sin? cot? 2 sec??cos??1 2 2 sin??cos??1 sec??tan??1 csc??cot??1 9、诱导公式： 把k?2 的三角函数化为?的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 公式组一 sinx·cscx=1cosx·secx=1tanx·cotx=1 tanx= x= sinxcosx sinx+cosx=11+tanx=secx 2 2 22 sin2(k??x)?sinxcos2(k??x)?cosxtan2(k??x)?tanxcot2(k??x)?cotx sin?(x)??sinx cos x 2 2 sinx cos?(x)?cosxtan?(x)??tanxcot?(x)??cotx 1+cotx=cscx 公式组四 公式组五 公式组六 sin(??x)??sinxcos(??x)??cosxtan(??x)?tanxcot(??x)?cotx sin2(??x)??sinx sin?(?x)?sinx cos2(??x)?cosxtan2(??x)??tanxcot2(??x)??cotx cos?(?x)??cosxtan?(?x)??tanxcot?(?x)??cotx （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 ?cos? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin cos(???)?cos?cos??sin?sin?sin(???)?sin?cos??cos?sin? 2222 cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin? tan2?? 2tan?1?tan 2 sin(???)?sin?cos??cos?sin?si? 2 1?cos? 2 tan(???)? tan??tan?1?tan?tan?tan??tan?1?tan?tan? co? 2 1?cos? 2 sin?1?cos? 1?cos?sin? tan(???)? tan 11212 2 1?cos?1?cos? 公式组三 公式组四 公式组五 2tan sin?? 1?tan 2 2 sin?cos?? 2 sin???sin???cos?? sin????????sin???? cos( 121212 )?sin????)?cos????)?cot? 2 cos ?sin? sin(tan( cos?cos?? cos???? 1?tan cos?? 1?tan 2 2 2 2 sin?sin??? 12 cos??????cos???? sin??sin??2sinsin??sin??2cos 2 2??? cossincos 2???2???2???2 cos(tan(sin( 121212 )??sin? 2tan tan?? 1?tan 2 2 )??cot????)?cos? 2 6?4 cos? cos??2cos cos??cos???2sin 2 2???2 sin sin15 cos75 ,sin 75 cos15 6?4 2,tan15??cot75??2?3,tan75?cot15?2? 3 . y??sinxy?sinxy??cosxy?cosx 反.一般地，若y?f(x)在[a,b]上递增（减），则y??f(x)在[a,b]上递减（增）. ②y? sinx 与y cosx 的周期是?. cos(?x??) ③y?sin(?x??)或y y?tan x2 （??0）的周期T? 2? . 的周期为2?（T T?2? ，如图，翻折无效）. 2 ④y?sin(?x??)的对称轴方程是x对称轴方程是x 原点对称 k?? （k?Z），对称中心（k?,0）；y 12 (soc?x??) 的 k?（k?Z ），对称中心（k?；y?,0） (nat（?x??)的对称中心 k?2 . ,0） y?cos2x?????y??cos(?2x)??cos2x tan?⑤当tan?· 1,????k?? 2 (k?Z) tan?；tan?· 1,????k?? 2 (k?Z) . ⑥y cosx 与y?sin??2k??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数，则 ?x? 2 12 y?(?x??)?sin(?x?k?? )??cos(?x). ⑦函数y?tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y?tanx为增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(?x)??f(x)） f(?x)?f(x) ，奇函数： 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y?tanx是奇函数，y?tan(x?1?)是非奇非偶.（定 3 义域不关于原点对称） 奇函数特有性质：若0?x的定义域，则f(x)一定有质） f(0)?0 .（0?x的定义域，则无此性 ⑨y sinx 不是周期函数；y?sinx为周期函数（T??）；
y?cosx 是周期函数（如图）；y?cosx为周期函数（T?y?cos2x? 12 的周期为?（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y=|cos2x+1/2|图象 y?f(x)?5?f(x?k),k?R. ⑩y acos??bsin??a?b 22 sin(???)?cos?? ba 有a2?b2?y. 11、三角函数图象的作法： １）、几何法： ２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象． 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T 2?|?| ，频率f 1T |?|2? ，相位?x??;初相? （即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号）， 由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A| ＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y） 由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的| 1 |倍，得到 y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx 替换x) 由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x) 由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y） 由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： 函数y＝sinx，?1］，值域是? x?????? 22??? 的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1， －22??? ． 函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］． 函数y＝tanx，? x?????? 22??? 的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－ ∞，＋∞），值域是? 22? ． 函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）． II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数：?反正弦函数y?arcsinx是奇函数，故arcsin(?x)??arcsinx，?x???1,1（一定要注明定义域，若x????,???，没有x与y一一对应，故y?sinx无反函数） 注：sin(arcsinx)?x，x???1,1?，arcsinx????,??. 2 2? 反余弦函数y?arccosx非奇非偶，但有arccos(?x)?arccos(x)???2k?，x???1,1?. 注：①cos(arccosx)?x，x???1,1?，arccosx??0,??. ②y cosx是偶函数，y?arccosx非奇非偶，而y?sinx 和y?arcsinx为奇函数. 2,2 反正切函数：y?arctanx，定义域(??,??)，值域（??(??,??). 注：tan(arctanx)?x，x?(??,??). arctan(?x)??arctanx，x ），y?natcrax是奇函数， 反余切函数：y?arccotx，定义域(??,??)，值域（? arccot(?x)?arccot(x)???2k?，x?(??,??). 2,2 ），y?cratocx是非奇非偶. 注：①cot(arccotx)?x，x?(??,??). ②y?arcsinx与y?arcsin(1?x)互为奇函数，y非奇非偶但满足arccos( arctanx 同理为奇而y arccosx 与 y?arccotx x)?arccosx???2k?,x?[?1,1]arccotx?arccot(?x)???2k?,x?[?1,1]. 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： a的取值范围 解集 ①sin x?a a 的取值范围 解集 x?a 的解集 ②cos 的解集 a ＞1 arcsian,k?Z? k a ＞1 a =1 ?x|x?2k?＜1 a =1 ?x|x?2k??arccosa,k?Z? a x|x?k????1? arcsian,k?Z arctana,k?Z? a ＜1 ?x|x?k??arccos a a,k?Z? ③tan x?a的解集：?x|x?k? ③cotx 的解集：?x|x?k??arccota,k?Z? 3 二、三角恒等式. 组一 组二 n cos?cos2?cos4?...cos2?? n sin22 n?1 n?1 sin3??3sin??4sin?cos3??4cos??3cos? 3 sin 2 sin 2 2 sin?????sin????? 2 sin? cos??cos? cos k?1 2 k cos 2 cos 4 cos 8 cos 2 n sin?2sin n n 2 n cos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)? k?0n sin((n?1)d)cos(x?nd) sind k?0 sin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)? sin((n?1)d)sin(x?nd) sind tan(?????)? tan??tan??tan??tan?tan?tan?1?tan?tan??tan?tan??tan?tan? 组三 三角函数不等式 sinx ＜x＜tan x,x?(0, 2 ) f(x)? sinxx 在(0,?)上是减函数 若A?B?C，则x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC 高三数学总复习—三角函数 |
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