【课程】西南科大网教学院_数学分析05_2.2 函数的极限

2.2  函数的极限  

 

数列{}作为定义在自然数集上的函数，它在直角坐标系内应该有图形，例如：

=

 

图2-2-1

    使得

    对于函数的极限，我们也可以用类似的方法来描述．

2.2.1 时，函数的极限

    1.时，的极限

   

在图2-2-2中，充分大时，函数的值充分地接近常数(=1)，可以充分地小，小于预先给定的无论多么小的正数，更准确地说，图2-2-2中函数满足：时，恒有

<

这时我们称时，以1为极限．

一般地，有如下定义：

    定义2.2.1  设在有定义，如果对，恒有

<

则称函数在时，以A为极限或收敛于A．记为

或

2. 时，的极限

 

    图2-2-3中，时，．

 

定义2.2.2  设在有定义，如果时，恒有，则称函数在时以为极限，记为或

 

3. （即）时，的极限．

        上图的函数在和时，都有．

　　定义2.2.3  设在有定义，对当时，恒有

则称在时，以为极限或称在时收敛于．记.

    定理2.2.1  设在上有定义，则存在和都存在并且相等．

    证明：()  设

    使得时，有.  故,

时，有

并且，时，也有

所以，                =

      设=

    对则时，有

又，从而时，有

令则，有

所以，

2.2.2 在时的极限

    图2-2-5中，函数满足：当充分地接近时，充分地接近，即 时，恒有

    定义2.2.4  设在的某个去心邻域内有定义，如果时，当时，恒有

则称在时以为极限，或称收敛于，记为

2.2.3 单侧极限

    1. 左极限

    设在的某个左半邻域有定义，如果当时，有

则称在时以为左极限，记为

或.

    2. 右极限

    设在的某右半邻域(内有定义，如果当时，有. 则称在时以为右极限，记为

    函数在的左、右极限统称为在的单侧极限．

    定理2.2.1　存在和均存在，并且

=

  

   由上可知，函数极限共有六种形式：

  

 

   

典型例题：

 

   例2.2.1  试证：．

    证明：，要找使得时，有

只找时，有，取，则 时，恒有, 故

．

  

    例2.2.2  求证：．

    证：，要找，有

即                      , 取

故时，有

所以，                     .

    

    例2.2.3  证明：(c为常数)．

    证：因时，恒有

　

所以                         

    例2.2.4  证明：，

    证：，要使

只需取，故时，有

所以，                    

同理可证，            

例2.2.5  证明：不存在．

  　证：   

        

,  故不存在．

    例2.2.6  函数 ,  在处的极限是否存在？若存在，请求出来．

    解： ,

. 故 不存在．