【课程】西南科大网教学院_数学分析47_13.4 第一型曲面积分

13.4   第一型曲面积分

 

一、  第一型曲面积分的定义

     定义13.4.1  设函数为光滑曲面S上的有界函数，把曲面S任意分成n个小曲面块，其面积仍记为，在上任取一点，作和式

.

若把小曲面块上任意两点间的距离的最大值称为小曲面块的直径，并记作，当时，不论曲面S的分割如何作以及点如何取，如果趋于一个确定的常数I，则称该常数I为函数在曲面S上的第一型曲面积分或称为对面积的曲面积分，记作.

即            .

函数称为被积函数，曲面S称为积分曲面，ds称为曲面的面积元素．

    于是，密度为的空间曲面S的质量为

．

    第一型曲面积分也有与第一型曲线积分类似的性质，请读者行叙述．

　　二、第一型曲面积分的计算

    定理13.4.1  设曲面S的方程为，曲面在坐标平面xOy上的投影区域为有界闭域D．若函数在D上有一阶连续偏导数，则由曲面的面积元素（参见定理12.4.1）

,

可以把第一型曲面积分化为二重积分来计算

．

典型例题：

例1.  计算,其中为曲面与平面所围成的立体的表面.

解  因曲面可分解为:,而曲面和及其投影区域为

,      ,

,              .

于是