 数学定义 把一条线段分成两段，使其中较长的一段是原线段与较小一段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。 如图，C为线段AB上一点，如果有 则点C叫做线段AB的黄金分割点。设AB=1, AC=x，则 解得，  称之为黄金比，也叫中末比、中外比、黄金率。我国古代称为弦分割。黄金比的数值  后人还称为黄金数。 发展史 黄金分割的发现，普遍认为是古希腊柏拉图（Plato，公元前427~前349年）学派的欧多克斯（Eudoxus，约公元前408~前335年）。也有学者认为是较之更早的毕达哥拉斯学派，因为毕达哥拉斯学派常用正五边形，其中多处包含黄金比，但这个结论值得商榷。 黄金分割以中末比作图形式出现在欧几里得《几何原本》中，在《原本》第Ⅱ卷命题11中，欧几里得用几何方法证明了  但并未得到  黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎。黄金分割是欧洲文艺复兴时期，由意大利著名艺术家、科学家达·芬奇（Leonardo da Vinci,1452~1519）冠以的美称。德国著名天文学家、数学家开普勒（Kepler,1571~1630年）把黄金分割与勾股定理并列，誉为古希腊几何学的两颗明珠，可见黄金分割地位之赫然。 拓展 1.分数与根式  设x为黄金比，有 可以推出  对等式右边分母中的x又以  代替，可得  以此类推，可得无穷连分数。对等式进行类似的代替，可得无穷连根号。 2. 斐波那契数列 13世纪初意大利数学家斐波那契 （L．Fibonacci,1170~1250年）研究过这样一个有趣问题：'兔子出生以后两个月就能每月生小兔，若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄)，假如养了初生的小兔一对，试问一年以后共有多少对兔子（假设生下的小兔都成活的话）'.如果我们把每月的兔子（对）数排成一列数，即得数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，an，…有趣的是，比值  当n无限增加时，就能不断逼近黄金比。 3.几何中的黄金分割 一个顶角为36°的等腰三角形，其底角平分线把一腰黄金分割，正是因为比为黄金比而被称为黄金三角形。 将一个正五边形的所有对角线连结起来，这些对角线的交点都是所在线段的黄金分割点，正五角星里面所产生的所有三角形都是黄金分割三角形。 如果矩形长宽之比为黄金比，则这样矩形称为黄金矩形。 几何中还有很多这样的例子，此处不一一列举。 应用实例 黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例。 我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割，长沙马王堆汉墓出土的文物中，有的长宽就是按黄金比制作的。清朝数学家梅文鼎对黄金分割有深入研究，他在《几何通解》和《几何补编》（1692年）中，对黄金分割有详细论述。
 达·芬奇笔下的“蒙娜丽莎”、拉斐尔的“花园中的母与子”中母与子有一个共同特点是：人物避开了正面和背影的刻画，而是选取了正中带侧或是背中带侧的角度。我们在对0°到180°之间进行黄金分割可以得到一个黄金角度，达·芬奇和拉斐尔所使用的就是这样一个角度。翻开西方的艺术史，有近90%的人物都用这个角度，你能说，这仅是一种巧合？
埃及的金字塔、印度的泰姬陵以至法国的埃菲尔铁塔上，都可发现与黄金比有联系的数据。再如现今印刷的各种书籍、图片、门窗、桌面其长宽之比大多接近黄金比，这样制作，美观﹑大方，材料最省；在高塔的黄金分割点处建造楼阁或设置平台，能使瘦削单调的塔身变得壮观；在摩天大厦的黄金分割点处加道腰线或装饰物，会使整个大厦显得雅致；二胡演奏中的“千金”分弦，若符合黄金比，音调最和谐；独唱演员站在舞台的黄金分割点，给人感觉最适宜，音响效果最好。人体也符合黄金比，若人的肚脐是人体总长的黄金分割点，膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点，则其身材最匀称，古希腊的智慧女神雅典娜和太阳神阿波罗的塑像都采用这种身段比。 大书法家启功在《书法概论》中介绍，那些公认的书法中可以给人较多美感，赏心悦目的作品的一个共同特点是：每个笔画同格线的交点，都会在一个方格的四个黄金分割点上或者附近。
树枝的生长也满足黄金比，这是数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出的: 趋于黄金比。又如在峰房结构、波罗的鳞片、向日葵籽排列等问题中，都可找到与黄金数的联系.大自然“喜欢”用黄金分割“说话”，这反映了大自然内在的比例规律，也说明黄金分割的普遍性。 随着生产和科学试验的需要，近40年来黄金分割在优选法中开辟了它的应用领域，在单因素优选法中，利用黄金数或其倒数逐次安排试验点，可以减少试验次数，并迅速可靠地搜索到符合生产要求的试验点，这可说是黄金分割绽开的又一朵新花！ |
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