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约翰尼斯·开普勒(Johannes Kepler)曾热情洋溢的写下这么一段话：几何学有两件伟大的瑰宝，第一件是毕达哥拉斯定理（即勾股定理），第二件是黄金分割，前者可以把它比作黄金，后者可以命名为宝石。 请看： 在几何的世界里，有一种矩形拥有几乎神话般的地位，人们甚至认为这是图形中最漂亮的！以其较长边为边，作一个正方形，组成的新矩形形状会与原矩形相同，如此往复，这种相似性会贯穿始终。珍藏于罗浮宫的世界名画《蒙娜丽莎》，作者莱奥纳多·达·芬奇就迷恋于这种长宽比的矩形，还赋予它一个美丽的名称:黄金矩形。马丁·欧姆将与之对应的分割称之为“黄金分割”，对应的螺旋曲线被称之为黄金螺线。欧姆定律的发现者乔治·西蒙·欧姆的弟弟——马丁·欧姆，在1835年的著作《纯粹初等代数》中用“黄金分割”来表示“中外比”，这一名称从此流行。黄金分割有着它的数学密码。我们说一条线段被一点分成黄金分割，是指分成的两条线段中，较长的线段为较短线段与整条线段的比例中项。《几何原本》称该分割比例为“中外比”——extreme and mean ratio。我们发现，早在2300多年前，古希腊人对这种类型的分割就非常熟悉，甚至觉得“一条线段的中外比分割”这个名称稍嫌啰嗦，简化为“分割”。将已知线段切分，让它和一条小线段围成的矩形面积等于另一个小段上的正方形面积。《几何原本》利用面积变换证明了这一结论，略显繁琐。黄金比例并非刻意追求的结果，许多事物从中心出发同比例放大，往往会得到类似的黄金螺旋。鹦鹉螺的截面、龙卷风、银河系，蕴含其中的便有黄金螺线。许多植物相邻两片叶子约成137.5°，因为137.5：（360-137.5）≈0.618，此时采光、通风是最佳的。许多人相信，黄金分割反映的是宇宙万物的一种自身规律，德国数学家阿道夫.蔡辛（Adolf Zeising）认为，黄金分割是所有比例中最富艺术感的一种，他说：“宇宙之万物，凡符合黄金比例的总是最美的形体。”怡人的气温会在23℃（37℃×0.618≈23℃），因为气温与体温构成黄金比例时，你我会感觉最舒适。与黄金比孪生的是斐波那契数列（1,1,2，3,5,8，13,21,34,55,89……），大自然需要规律和充分利用空间的地方，往往会觅得她俩的踪迹。
向日葵花盘上呈现顺时针和逆时针两种分布的曲线，数量通常是一对连续的斐波那契数（如上图，逆时针和顺时针曲线数量分别为34条、55条，34：55≈0.618），包括松果的曲线数量。你会惊奇的发现，这些表达式的系数也是斐波那契数，起源于纯粹几何体的黄金分割竟然与起源于数论的斐波那契数列就此交汇！黄金分割与斐波那契数列如影随行，这也许是人称“斐波那契螺旋”为“黄金螺旋”的缘由吧。但它们却有着细微差别：斐波那契螺旋是从“两个单位正方形”出发向外作正方形。而黄金螺线则从黄金矩形的长边向外作正方形开始，前者增大后比例慢慢接近黄金比例，后者却是准确的黄金比。两者显然是有区别的，如果将斐波那契螺旋称之为黄金螺旋，那么，黄金分割产生的螺旋又作何称谓？人体艺术的数学研究，使得“黄金分割”变得耳熟能详。1854 年，阿道夫.蔡辛展示了他对人体的比例分析。他将男性身体的总高度分为四个主要区域：头顶至肩部、肩部至肚脐、肚脐至膝盖以及膝盖至脚底， 每个区域进一步细分为五个部分。可以看到每个段中的斐波那契测量序列，人体艺术充斥着黄金比。之后的法国建筑师勒·柯布西耶 (Le Corbusier) 则宣称，黄金比例呈现为一种自然节奏，是每个人类有机体与生俱来的。以肚脐眼为黄金分割点的雕像维纳斯，堪称完美身材的象征，人们对曼妙身姿的追寻也归于黄金比。人的脸型构成黄金矩形，两颗门牙并列成黄金矩形，两只眼睛靠近鼻梁的眼角之间距离与一只眼睛的宽度之比成黄金比时，看上去总是那么迷人。达·芬奇创作《维特鲁威人》时，他非常认真的做了维特鲁威著作《建筑十书》的阅读笔记，试图绘出完美比例的人体。在达·芬奇的密友卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）著作《De divina proportione》中，达·芬奇曾为此书作图解，配图之一就有《维特鲁威人》（“维特鲁威人”可理解为维特鲁威提出的完美人体）。下图是古希腊建筑师马尔库斯· 维特鲁威· 波利奥（Marcus Vitruvius Pollio）创作的《持矛者》和《宙斯》雕像：达·芬奇的另一名作《最后的晚餐》，集黄金分割、透视于一身，他刻意利用了这一原理，耶稣被放在视角的中心，而叛徒犹大则被放在了黄金分割点上。艺术家往往钟情于几何，达芬奇就是一个典范，他甚至武断的认为，欣赏他的画作之人，一定是数学家。大卫像、泰姬陵、埃菲尔铁塔、影视构图，包括苹果手机的徽标，都离不开神奇美感的缔造者——黄金分割。芭蕾舞演员的身材虽然修长，但该比值通常在0.58左右，而踮起脚尖这个比值却能提高至0.618附近，黄金分割使舞蹈倍感优雅。声学家建议，影音室的长、宽、高比例，以2.618:1.618:1为佳，他们认为声波的反射也以黄金比例最为悦耳，这样的房间才是最好的音箱。如果最好的音响遭遇正方体空间，那将是音乐欣赏的灾难，这也是同样的音响设备，在不同的房间里会效果迥异的主要原因。也许自从毕达哥拉斯让数学走进音乐，音乐与数学的融合似乎成了必由之路。二胡的千金放在0.618位置，发出的音最为优美。一把“355”型小提琴，结构中可以找到14个黄金分割关系。2011年，名为“布朗特夫人”的小提琴以1590万美元拍卖，就是意大利制琴师斯特迪瓦里围绕着黄金分割制作而成的作品。莫扎特的《D大调奏鸣曲》明显使用了黄金分割，贝多芬、巴赫、巴尔扎克的音乐里也蕴藏着黄金比的完美和谐。马克斯·比尔认为，创造一种基于数学思维的艺术，是完全可能的。艺术家们钟爱黄金比，某种意义上，黄金分割是形态学、艺术、建筑和音乐的基础。马克斯·比尔（Max Bill），瑞士著名的包豪斯学者、建筑学家，艺术家，画家、字体设计师、工业设计师和平面设计师。不禁感慨，正是黄金比，向人们展示了美如何成其为数学。蕴含近似黄金比的作品，艺术家们是否一定按照黄金分割进行创作？众说纷纭，分歧催生了信仰，西方不乏作出肯定回答的“黄金数字主义者”。他们推崇毕达哥拉斯学派是研究黄金分割的鼻祖，认为学派的标志五角星就是最好的证明，标志中有着许多的黄金比例，如正五边形的边长与对角线之比。为此学界争议至今：公元前500年的毕达哥拉斯学派是否已经知晓黄金分割？首先，从学派将“万物皆数”奉为信仰角度思考，黄金比这个无理数的提前发现是绝无可能的，有可能的是发现了一种有着美妙分割的图形五角星，进而将它设计成学派徽标，却不知这种分割比值为颠覆信仰的无理数；第二种可能是爆发“第一次数学危机”后，学派发现了更多无理数，包括五角星的黄金比，后被《几何原本》收录其中；还有一种可能，如李大潜教授提及，希帕索斯发现的第一个无理数就是“黄金比”。一段模糊的历史，总是那么“绯闻”不断！我们觉得，五角星徽标的选择，可能是毕达哥拉斯学派出于美的自然认同。但这些争议并不影响人们对它的热情，五角星中的多个等腰三角形，由于底边与腰长的黄金比例存在，故有着“黄金三角形”的美称，有意思的是，黄金三角形的底角恰好等于顶角的两倍。“黄金数字主义”的另一个争议，是古希腊的宏伟建筑帕特农神庙。其宽高比约0.6左右，与0.618有些接近，“黄金数字主义者”把帕特农神庙奉为黄金分割的另一经典。而反对者认为，这并不意味着帕特农神庙就是基于黄金分割建造的，接近不同于刻意建造。不计算上方山墙的矩形，其宽高比约等于3，那么，是否也可以推断设计师菲狄亚斯根据π值建造而来？类似的争议还包括胡夫金字塔、丢勒的作品等……也许，黄金矩形对众多经典都很适合，用黄金比附会于作品，总会找出它们的近似之处。一旦人们接受了这种近似，想象的大门随即洞开，神秘的光环便接憧而来。较为可信的是，黄金比例被人们从自然和艺术领域发掘出来，前者基本正确，而后者，除了有确凿证据的，很多时候可能就是推测了，权当迷思吧！黄金分割的许多奥秘，学界至今还没有明确定论，但并不妨碍人们在息息相关的生活中创造它的神奇。有经验的报幕员绝不会站在舞台的中央，他们会选取舞台的黄金分割点附近，这样的站位，既不喧宾夺主，又落落大方。证券分析师研究股票市场的涨跌规律，也会关注黄金分割点。他们认为，涨跌的0.618和0.382是一个关键的大众情绪点。也有人喜欢把一个重大决定放在决策时间的黄金分割点位上。我国著名数学家华罗庚也曾响应“数学为生产实践服务”，走进工厂，提出优选法（也称0.618法）。认为在测试区间的黄金分割位进行试验，筛选效率最佳，并从理论上进行了严格的证明。据说五粮液酒厂为了调试一款供外宾饮用的低度白酒，发现兑水多了影响口感，少了酒太烈，为了酿制酒精度与口感俱佳的低度酒，宜宾五粮液酒厂费时多年未得满意结果。在华罗庚优选法的指导下，每次选取测试区间的0.618,进行调试，一周即完成了配方。1876年，德国心理学家古斯塔夫·费希纳（Gustav Fechner）研究了人们对矩形美学的心理反应，发现无论受过何等教育，喜欢黄金矩形的人数总比其它矩形多，大家都有跨文化审美的共同偏好。至1908年，拉洛（Lalo）对此系统的进行了实验，结论同样表明：接近黄金比的矩形总是最受欢迎的。有人可能会提出疑问，那么，生活中最常用的纸张为何不设计成黄金矩形？通常的A4纸边长比例为210:297，比值约1:1.414。这是由于裁切和折叠的需要，它考虑的是最大限度的减少浪费，以及纸张对折后得到的图形相似（1比根号2等于2分之根号2比1）。究竟是人创造了黄金分割还是大自然创造了黄金分割，这依然众说纷纭，莫说一是……感谢林亚南教授、夏仕军老师、刘文华老师等学者为完成本文提供的帮助，关于“黄金分割”，许多问题数学界尚无定论，不当之处，望批评指正。[1][美]卡尔·B.博耶（Carl B.Boyer）.数学史（修订版）[M].中央编译出版社，1991：59-61.[2][英]乔尔·利维（Joel Levy）.奇妙数学史[M].人民邮电出版社，201：120-122.[3][加拿大]迈克尔·威尔士.迷人的代数[M].人民邮电出版社，2017：88-91.[4]张士军.漫步数学之美[M].高等教育出版社，2014：38-45.[5]李大潜.黄金分割漫话[M].高等教育出版社，2007.[6]蒋迅，王淑红.牛顿科学馆[M].北京师范大学出版社，2016:121-126.[7]汪晓勤.数学文化透视[M].上海科技出版社，2013：103-109.[8][以色列，瑞士]伊莱·马奥尔（Eli Maor），尤金·约斯特（Eugen Jost）.数学：几何印象[M].机械工业出版社，2017：67-70.[9][美]金伯利·伊拉姆.设计几何学[M].知识产权出版社，2003：6-32.
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