十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci），写了一本数学书《计算之书》影响了欧洲人的思想。菲波那契在«计算之书»中提出了一个极为有趣的"兔子问题"。这就是本篇讨论问题的开端。斐波那契数列、以兔子繁殖为例子而引入，故又称为"兔子数列"，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、619、987 ……与黄金分割关系有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）这个数列有下列特性（1）当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越到后面越来越逼近黄金分割率即f(n)/f(n-1)→0.618…（2）任何相邻三个数，其中前两个数之和等于第三个数，如1+2=3，2+3=5，3+5=8，依此类推。（3）任何相邻三个数，其中第一个数和第三个数的乘积与第二个数的平方相差1。如图所示每条斜线上数的和就构成斐波那契数列，又称黄金分割数列。斐波那契数列的f(n)/f(n-1)会趋近于黃金比例 ϕ= (1+√5) /2，近似值為 1.618。黄金分割是一个古老的数学方法，首次提出是，公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯及其学派在五角星内发现的，公元前4世纪古希腊的数学家欧多克索斯第一次用几何的方法给出黄金分割率的计算，并建立起比例理论，公元前300年欧几里得《几何原本》进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说.德国天文学家开普勒称之这一神圣分割为"中外比"，13世纪意大利数学家菲波那契，写了《计算之书》之后，对黄金分割的认识才从静态走向动态，自然界的变化规律已经触手可及了。15世纪末期，法兰西教会的传教士路卡·巴乔里发现金字塔之所以能屹立数千年不倒，且形状优美，原因在于其高度与基座每边的结构比例为"5:8"。有感于这个神秘比值的奥妙与价值，他使用了黄金比率一词。古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律成为世代相传的审美经典规律，造就了人类潜意识中根深蒂固的审美模式，对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今 还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。不仅是艺术，在大自然、宇宙、甚至人体构造中，艺术中也存着的黄金比例。从低等的动植物到高等的人类，从数学到天文现象中，许多优美的事物中，几乎都暗含着这种比例结构。
在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。黄金矩形：它的长宽比为1．618，以一个顶点为圆心，矩形的较短边为半径作一个四分之一圆，交较长边于一点，过这个点，作一条直线垂直于较长边，这时，生成的新矩形（不是那个正方形）仍然是一个黄金矩形，这个操作可以无限重复，产生无数个黄金矩形。
这种长方形有许多奇怪的性质。从黄金长方形ABCD 的一端把小正方形 ABEF 去掉，剩下的 CDEF 还是一个黃金长方形。用同样的方法，可逐步去掉许多正方形而得到愈来愈小的黃金长方形，而黃金分割点F,H,I,J,K,L, … 都排在一個等角螺线上，螺线的心正好是兩虛线 AC 和 DE 的交点。所谓等角螺线就是向徑和切线的交角永远不变的曲线。因为是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称斐波那契螺旋线或黄金螺旋线。这些发散曲线的螺旋角一般在137.5度，更为精确的数字应该是137.50776度，因为137.5=360-360*0.618，所以这个角度又被称为黄金角度。黄金角度 十分特别，是因为没有任何360度的简分数能加以表达；360度的5/8相当接近，8/13更为接近，13/21则算是最接近的了，但没有任何一个分数能准确地表达出黄金角度跟360度的比例。
正五边形的黄金比例特性：正五边形内含五角星，五角星内含正五边形，重重无尽。正五边形的任一对角线与边长的比为黄金比例。五角星古人称五芒星在许多文化中被看作是神圣而神奇的。五角星中线段的比率都符合黄金分割率，被作为美丽与完美的象征。
1、生命现象 率先使用斐波那契数列的，是法国数学家埃杜瓦尔·卢卡斯。从那时起，科学家开始注意到自然界中这样的例子，譬如，向日葵花盘和松果的螺线、植物茎干上的幼芽分布、种子发育成形和动物犄角的生长定式。人类从胚胎、婴儿、孩童到成年的发育规律，也遵循着黄金分割率。罗马在数学上，定义菲波那契数列的方法叫递归（Recursion），宝塔花椰菜是一个很明显的递归例子。每一棵花椰菜，都是由形狀相同的小花椰菜组成的，而每一簇花椰菜又是由更小些的同形狀花椰菜组成的。植物与黄金分割植物叶子，千姿百态，生机盎然，尽管叶子形态随种而异，但茎上的叶序是极有规律的。从植物茎的顶端向下看，上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角．如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度．植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。这个137.5°角，藏有什么"密码"呢？一周是360°，360°-137.5°=222.5°，137.5°∶222.5°≈0.618．叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618。从分生组织长出来的新生部分，按这个固定的黄金角度相继生长，新生部分就永不会跟任何已长成的部分朝同一方向生长。
同样在一片叶子中也有黄金分割的现象存在。主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段"休息"时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝"休息"，老枝依旧萌发；此后，老枝与"休息"过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年"休息"。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的"鲁德维格定律"。植物茎干上的幼芽分布、种子发育成形 和动物犄角的生长定式,遵循着黄金分割率。叶片排列是沿对数螺旋上升，这也保证了叶与叶之间不会重合，下面的叶片正好在从上面叶片间漏下阳光的空隙地方，这是采光面积最大的排列方式。可见，沿对数螺旋按圆的黄金分割盘旋而生，是叶片排列的最优良选择。叶、枝、花瓣也可以成螺旋式生长。许多呈螺旋图案的植物，花瓣数目往往是斐波那契数列中的数。有些人观察到，毛茛的花有5块花瓣，美洲血根草有8块，柳兰有13块，紫菀有21块，春白菊有34块，美国紫菀则有55块或89块。在水果和蔬菜中也可以找到跟斐波那契数列有关的数字。例如，香蕉的横切面是一个五边形。
向日向日葵花盘和松果的螺线,遵循着黄金分割率。葵花有89个花辫，是斐波那契数列。向日葵的花盘中有2组螺旋线，一组顺时针方向盘绕，另一组则逆时针方向盘绕，并且彼此相嵌。 虽然不同的向日葵品种中，这些顺逆螺旋的数目并不固定，但这每组数字都是斐波那契数列中相邻的2个数。
鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工。螺旋形鹦鹉螺身上的同心弧圈，每圈罗纹的直径与相邻罗纹直径之比为"PHI.黄金分割。1.618."
黄金分割不是达芬奇发现，但是达芬奇将黄金分割运用在创作中，通过他的画，后人可以发现，他发现了黄金分割最适合人体的比率。
维特鲁威人是列奥纳多达芬奇在1487年前后创作的世界著名素描。它是钢笔和墨水绘制的手稿，规格为34.4 cm × 25.5 cm。根据约1500年前维特鲁威在《建筑十书》中的描述，达芬奇努力绘出了完美比例的人体。这幅由钢笔和墨水绘制的手稿，描绘了一个男人在同一位置上的"十"字型和"火"字型的姿态，并同时被分别嵌入到一个矩形和一个圆形当中。这幅画有时也被称作卡侬比例或男子比例。肚脐到地面的高度 = 1.618；肩膀到指尖的距离：肘关节到指尖的距离 = 1.618；臀部到地面的距离：膝盖到地面的距离 = 1.618。《达·芬奇密码》的故事始于卢浮宫，终于卢浮宫。馆长被谋杀，为了把他知道的重大秘密传给后人，这位编制密码的高手临死前把自己的身体摆成了达·芬奇的画作《维特鲁威人》的样子，并留下一行数字，两行莫名其妙的诗句：
13-3-2-21-1-1-8-5啊，严酷的魔王（O，Draconiandevil）
噢，瘸腿的圣徒（oh，lamesaint）小说的男女主人公很快破译了这个密码，数字按升序排列后是数学史上著名的斐波那契数列，前两个数相加等于相邻的第三个数，而相邻的两个数相除约等于黄金分割的数字1.618；至于那两句诗，将字母打乱重新排列后竟然是：列奥那多·达·芬奇（LeonardodaVinci）！蒙娜丽莎（TheMonaLisa）！人体黄金分割是指人体经脐部，下、上部量高之比，小腿与大腿长度之比，前臂与上臂之比，以及双肩与生殖器所组成的三角形等都符合黄金分割定律，即1：0.618的近似值。人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。穴位 人体的五大黄金穴位，都处于身体各部位的黄金分割点上，经常按摩五大黄金穴位最能养生。 人体最适应的温度乃是用黄金分割率切割自身的温度,因为人正常体温是37.5度，它和0.618的乘积为23.175℃，在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。在动物界，禽兽等高级温动物的体温介乎37--39℃，这一温度正是水的液态范围0100%，两个黄金点（0.618）之一，即38%左右。养生学家通过多年观察发现，动和静是一个0.618比例关系，大致四分动六分静才是较佳养生之法。医学专家分析后发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病；人的脑电波图，若高低频率比为1：0.618时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻。
3，艺术与建筑黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。在很多艺术品以及建筑中都能找到它。埃及的金字塔，希腊雅典的巴特农神庙，印度的泰姬陵，世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，加拿大多伦多电视塔，上海 的东方 明珠， 这些伟大杰作都有黄金分割的影子。金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（5－8－13）。
图为古希腊的巴特农神庙，它的高（红色线）比底（蓝色线）的比值为0.618（因为透视的缘故底边显得更短）。这样的古代建筑会更显宏伟壮观巴黎圣母院。正面高度和宽度的比例是8：5，它的每一扇窗户长宽比例也是如此。图为东方明珠塔塔身高达468米，建筑的几何组成上是十分单调的，完整的圆型或球形也因为在画面中过于抢眼而常常被避讳。但建筑中多处运用了黄金分割的比例，使其协调美观。如图中的上球体高度（红线）与整体高度（蓝线）之比。 优美动听的琴音，是综合了各种条件而得来的，贝多芬、莫扎特、巴赫、巴托克、德彪西、舒伯特等在他们的音乐里流淌着黄金分割的完美和谐。在乐章、节中、乐曲中的大小高潮大都处在乐曲的5：8的交叉点上。许多优秀歌曲的高潮部分一般也会出现在黄金分割点上。这一点不仅在古典音乐中得到充分展示，在流行歌曲中也可以找到痕迹，许多歌曲的主歌和高潮部分，都落在这个神秘的点上。
钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键，有8个白键和5个黑键，而5个黑键分成两组，一组有两个黑键，另一组有3个黑键，2、3、5、8、13恰好就是数学史上著名的斐波拉契数列中的前几个数。
图中显示的是银河系的斐波那契螺旋线，同样也完美地符合"黄金螺旋"的形状。
太阳系本身就是一条斐波那契螺线，形成以太阳为中心的涡旋。事实上，列昂纳多曾有论述："与车轮不同的是，涡旋越趋中心速度越快。地球上陆地面积与海洋面积的比值近似于黄金分割的比值；月球的平均密度是每立方厘米3.4克，地球的平均密度是每立方厘米5.5克，它们之比正好是0.618。地球的公转周期是365天，金星的公转周期是225天，两星公转之比也是0.618。根据计算得知：我们的太阳系，也正好在银河系半径的0.618处……0.618这个奇特的数字，终于在冲破了原来只有在几何学中出现运用的范围之后，又在很多领域体现出古希腊人寓意深远的种种神秘。
北纬23，5度太阳回归线恰好位于地球地轴的黄金分割点上，有不少自然奇观与人文奇迹。有青藏高原，撒哈拉沙漠，美国的东部大平原，有世界上最深的海沟──马里亚纳海沟，有珠穆朗马峰，有中国最长的长江。还有不少著名的自然风景区，如张家界、西双版纳、桂林、云南石林等。著名的能量异常区──百慕大三角区，有世界上最大的金字塔群。且此地带是最繁茂的生物圈。时空也是螺旋状？星系中都可以发现黄金分割率的宇宙常数。l.618不仅与数学方面有关，还与物理、化学、生物有关，这一比率也在时空的拓扑结构中发现，决定了宇宙中特定事物的成形，最具说服力的例子是无处不在的对数螺线，影响着整个宇宙。 研究人员称，黄金分割率之所以无处不在，是因为它是弯曲时空的固有特性。这个论点令人信服。突出的例子有漩涡星系(M51)、卡特里娜飓风以及太阳系中行星、卫星、小行星和行星环的分布。时代变迁，现在，不论是在时空还是在生物学的背景下，我们应该认识到相对论和量子论可以相结合，并且在数值上与一个数学常量的值相联系。但是，我们还不知道为什么宇宙遵循这个规律。 |
