黄金分割

黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。黄金分割比不仅在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面都有着不可忽视的作用。

基本信息

• 中文名：黄金分割
• 外文名：golden section
• 别称：黄金比
• 表达式：宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618
• 提出者：毕达哥拉斯学派
• 提出时间：公元前5世纪
• 应用学科：数学
• 适用领域范围：生活，科技，军事
• 记载著作：《几何原本》

尺规作图

1、设已知线段为AB，过点B作BC⊥AB，且BC=AB/2；

2、连结AC；

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3、以C为圆心，CB为半径作弧，交AC于D；

4、以A为圆心，AD为半径作弧，交AB于P，则点P就是AB的黄金分割点。

事实上，在一个黄金矩形中，以一个顶点为圆心，矩形的较短边为半径作一个四分之一圆，交较长边于一点，过这个点，作一条直线垂直于较长边，这时，生成的新矩形（不是那个正方形）仍然是一个黄金矩形，这个操作可以无限重复，产生无数个的黄金矩形。

推广拓展

特殊的数列

设一个数列，它的最前面两个数是1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····这个数列为“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。

经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，而黄金分割是无理数，所以只是不断逼近黄金分割。

黄金三角形

所

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谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2而被称为黄金三角形。

将一个正五边形的所有对角线连接起来，在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。

黄金矩形

若矩形的宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。

黄金分割线

由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。

与数列的关系

让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”

斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。

一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。

例题

（1）要设计一座2m高的维纳斯女神雕像，使雕

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像的上部AC（肚脐以上）与下部BC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C（肚脐）就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比．试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比？（结果精确到0.001）

解：设维纳斯女神雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．依题意，得（2-x）/x=x/2

x=-1+√5≈1.236或x=-1-√5（不合题意，舍去）．经检验，x=-1+√5是原方程的根．答：维纳斯女神雕像下部的高度为1.236m．故这个黄金分割比为：（-1+√5）/2≈0.618．

（2）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．一个参加空姐选拔活动的选手，其肚脐以上部分长65cm，以下部分长95cm。那么她应该穿多高的鞋子好看？（精确到1cm）[参考数据：黄金分割数为（√5-1）/2，√5≈2.236]

解：设她应该穿xcm的鞋子，依题意得：65/95+x=√5-1/2

解得x≈10．

答：她应该穿约10cm高的鞋好看．

发展简史

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黄金分割最早记录在公元前6世纪，关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯学派。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。公元前300年左右欧几里得吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，其《几何原本》成为最早的有关黄金分割的论着。

中国也有黄金分割的相关记载，虽然没有古希腊的早，但中国的算法是由中国古代数学家自己独立创造的，后传入了印度。黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲。经考证，欧洲的比例算法是源于中国而不是直接从古希腊传入的。