数学间的联系

　　发现众多数学思想之间的相互联系是没有什么值得奇怪的．数学是在先前发展的概念的基础上逐渐扩展的，任何数学体系的形成都是从一些未加阐明的术语和公理(假定)开始的，接下去的步骤是定义、定理、更多的公理等等．然而，历史表明，对于创造力的获得这并非是一条必须的路．例如，欧几里得几何并不是由欧几里得的书《几何原本》开始的．相反地，欧几里得是在研究、编辑和组织了在他之前数学家所发现的几何内容之后才写出他的书的．他是将这些几何思想系统归类并加以逻辑演绎而成的．

　　有许多数学分支似乎是彼此独立的，但只要仔细地观察就能发现其中一些明显的联系．而了解和发现这些联系将令人兴奋不已．

　　考虑以下的概念：

　　——帕斯卡三角形、牛顿二项展开式、斐波那契数列、概率、黄金均值、黄金矩形、等角螺线、黄金三角形、五角星形、极限、无穷数列、柏拉图体、正十边形——

　　所有上述发现都是由不同的人，在不同的时间，不同的地点作出的．但这些概念之间都由一条线联系着．

　　帕斯卡三角形是在帕斯卡(Blaise Pascal，1623—1662)之后命名的，虽然有关它的更早的记录出现在公元1303年刊行的一本中国的书上．帕斯卡三角形的每一项都是它上方两侧的两个数的和．它的每一行则表示二项式(a＋b)ⁿ的某一特殊次方展开的系数．如第3行给出(a＋b)³展开的系数．第n行则给出牛顿二项展开公式．

　　在帕斯卡三角形中，如图所示（① 原注：斐波那契数是一个数的序列，它是斐波那契在他的著作《算盘书》中为解决他所提出的一个问题时引出的．斐波那契又名列奥纳多·达·比萨(1175—1250)，他的《算盘书》在19世纪由法国数学家E·鲁卡斯编辑再版．）的对角线上的数的和为斐波那契数，后者与自然界的许多形式和现象相联系．在帕斯卡三角形中还可以找到许多其他数的集合．

　　——如自然数、三角形数、平方数、四面体数、四维空间四面体数、五维空间四面体数、……（② 原注：参见第56页图，那里有许多不同的数出现在帕斯卡三角形里． ）

　　概率则以不同的方式与帕斯卡三角形相连系．当小球从一个用六角形砖做成的帕斯卡三角形顶上的贮罐里往下落时，便形成了正态分布曲线．对于每个六角砖而言，小球往左边落或往右边落的机会是相同的．如果在底部将小球收集起来，那么它们将按帕斯卡三角形的数分布，并形成钟型的概率的正态分布曲线．拉普haplace，1749—1827)把事件的概率定义为：事件的发生数与所有可能发生的事件的总数的比．帕斯卡三角形则能够用来计算不同的结合数和可能结合的总数．例如，掷四枚硬币，其正反面可能的结合如下：四次均正1次；三正一反4次；两正两反6次；一正三反4次；四次均反1次．这些数相当于帕斯卡三角形顶上数下来的第三行——1，4，6，4，1——它表示了可能的结果．这种可能的结果的总数，即和1＋4＋6＋4＋1＝16．于是我们便可求

　

　　黄金平均值和黄金矩形(为古希腊的建筑和艺术所用)是通过斐波那契数列与帕斯卡三角形和概率相联系的．当斐波那契数列(1，1，2，3，5，8，13，21，34，…)相继项的比构成一个新的数列时，我们得到：

　　该数列的每一项或稍大于或稍小于黄金平均值．事实上该数列的极

（注：斐波那契数列的通项反映了宇宙规律的基本结构即宇宙是层层递归的，每一递归层面都分为阴阳两部分，其中阴包全体略盛，而阳略弱，乃是负阴而抱阳，两项之和则意味着“和”气之存在，且构成相对独立的全体；几类似五行合化天衣无缝之原理。

斐波那契序列中前后两项之比稍大于或稍小于黄金分割数 Φ 并以其为极限。如1/1＜Φ,2/1＞Φ，3/2＜Φ,5/3＞Φ， 8/5＜Φ,13/8＞Φ，21/13＜Φ，34/21＞Φ …。若以等于黄金分割数为无为零为平气，而小于黄金分割数为阴，为不及，大于黄金分割数为阳，为太过，则正好构成阴阳相间无限迭代振荡循环模式。

）

　

　　等角螺线可由黄金矩形的图引出：从一个黄金矩形开始，在内部如上图自我产生一系列其他的黄金矩形．等角螺线则由这些黄金矩形构成．黄金矩形的对角线交点即为等角螺线的中心或极点．

　　黄金均值又与黄金三角形联系在一起．黄金三角形是底角为72°、顶角36°的等腰三角形，它也能自我产生等角螺线,该三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。

　　黄金三角形跟五角星之间有着直接联系．五角星的五个点也是黄金

　　这里φ是黄金均值的符号，它也可以由其他无穷数列产生．

　　黄金矩形还可以用来画柏拉图体的二十面体和十二面体．二十面体是有20个面的正的凸多面体，它可由3个全等的黄金矩形组成，这3个黄金矩形互相垂直且对称相交，它们的12个顶点即二十面体的顶点．十二面体是有12个面的正凸多面体，它也能由3个全等的黄金矩形组成，这次12个顶点是十二面体面的中心．

　　最后，黄金均值还跟正十边形的外接圆半径与边的比相联系，因为正十边形能够剖分为10个黄金三角形，每个三角形都以圆心作为它的顶点．

　　以上这些联系是通过千百年时间逐渐形成的．正如我们大家看到的那样，有一条共同的线贯穿着这些数学概念，这难道不令人兴奋和惊异吗？

注：另外在优选法中应用黄金分割比例进行迭代也有其合理性，因为迭代的过程对应一微分动力系统演化的过程，其中黄金分割数在非线性分形和演化系统中也普遍存在。

上图中黑点和白点的数目总共100个，其中黑点45个应洛书数，白点55个应河图数。黑白点相间而存连线互成六芒星。上图中心高处若写上奇数，恰好至于19，即10*10=1+3+…+19，共10个奇数。实际上各奇数都与平方之差有关：1×1-0×0=1，2×2-1×1=3，3×3-2×2=5，4×4-2×2=5，……，10×10-9×9=19，这种数理结构也与杨辉三角形也密切相关。杨辉三角形中以中间数和第一顶点为基础构成的菱形，实际上就是正方形阵列分布。

上述两种模式都是正三角形

   开普勒运用五种立体的间隔解释了当时人类知道的六颗行星轨道与距离的和谐秘密，精确证明了正立体形在行星之间精确的各居其位，尤其说明立方体（正六面体）是这五种正立体的原生形态，其他形态均由这个正六面体派生、切割出来的、占据最外层且体积最大的初级形体（四面体是立方体的三分之一，八面体是四面体的二分之一等等）。这与我们中国古代的“天圆地方”的文明哲学思想是相通的。天与地的最大统一在于360这个数字，在于19的平方361这个数字，因为世界只有一个神——上帝始终占据着那个唯一，这就是天（时间）运行了360之后，地上的事物也跟随运行360（空间）的根本原因——循环的根本大道。因此，《圣经》中那句“阳光之下没有新鲜事”早就明明白白的告诉了人类。许多研究江恩思想的人理解不了正六面体与361究竟存在怎样的关系，进而从思想上接受不了地与天的高度统一。你去试想，一颗蜘蛛从正六面体的一个顶点出发，沿着棱角向前经过每个棱角且不重复又爬回起点的时候，它爬过的是19条棱线，每条棱线均由两个面组成而‘成方’，而19的平方即是对应于“天”的361。天的圆与地之方即是如此通过这样的形式而达到了统一的。我不是在复辟地球是宇宙的中心的那个理论，依照开普勒的天体模型，这个正六面体是包含于整个星系的最外层空间，所有的和谐均来自对它的切割和放置。

虽然很多动物或植物能将微观的黄金分割比例传递至宏观，但其只是局限于较少的角度，并且相对僵化而不是全方位的形神俱存俱妙的体现。只有全方位体现才构成全能全息。这种情况极类似于一般干细胞和全能干细胞的差别。在混沌理论中，黄金分割数对应的无理KAM环面是“最坚韧的”，当扰动增加时，这个数对应的黄金环面(Golden torus)最难破坏——因而也是最后破坏。一旦它也被破坏，则系统即进入了全局的混沌。现在已经看到：混沌研究已经和“数论”紧密联系了起来。其中包括Farey序列、连分数、有理逼近等。一位活跃于混沌动力学的学者P. Svitanovic说：“我主要参考Hardy和Wright的著作。”可见经典数论已成为混沌学家的必读书。

  开普勒认为，数学中有两大瑰宝——勾股定理和黄金分割比，勾股定理出自于毕达哥拉斯学派之手,有很多证据表明，可能黄金分割比也早被毕氏学派所掌握，其中一个非常重要的证据就是毕氏学派的会徽，一个刻着字母的五角星：

      毕氏学派将一个用五角星做的图案当成徽章,并在每一个角顶上刻着字母,按逆时针方向把他们读下来就是：υγτεια，“健康”的意思。



该斐波那契螺旋全是正方形在平面内平铺，且只有最原始的两个小正方形是全等的，其余边长都是其整数倍，洛书倍数为9，河图倍数为5，八卦倍数为64，这可能对应人体全能干细胞最原始的两个。