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17世纪德国天文学家开普勒曾这么说：几何学里有两件宝，一个是勾股定理（【数学故事】“勾股定理”你肯定知道，但这些你未必清楚～），另外一个是黄金分割，如果把勾股定理比作是金矿的话，那么黄金分割就是钻石矿。  什么是黄金分割？ 对于线段AB而言，若存在一点C使得AC：BC=BC：AB，即“短：长=长：整体”，点C成为线段AB的黄金分割点，关于用尺规作图作黄金分割点在前文有一点数学话题：尺规作图中有详细介绍。  而a：b的结果是我们通常所说的黄金分割比，约等于0.618，其准确值为  。 其实还有另一种说法，黄金分割比为b：a≈1.618，这两个结果不多不少正好差1，这是因为  所以黄金分割比是个很独特的数，它与它的倒数之差为1，即  如果把等号右边里的x用1+1/x代替，于是黄金分割有了一副新的脸庞：连分数。  忘了补充一点，黄金分割比通常用φ（希腊字母，念fai）表示。 任意无理数都可以表示为无限连分数的形式，而黄金分割比显然是最漂亮的那个。 从代数形式已经可以略显黄金分割的一点风范，而几何图形，才是让黄金分割显现钻石段位的主战场。  中学数学里的黄金家族 黄金三角形：若等腰三角形腰与底或底与腰之比为黄金分割比，则称之为黄金三角形。 其实常见的就是以下两种：  要说长得好看可能等边三角形等其他三角形也不是很服气，之所以叫黄金三角形，是因为可以割啊，像这样，不断分割下去，始终是黄金三角形。  五角星了解一下，这里所能看到的每一个三角形也都是黄金三角形！  黄金矩形：相邻两边之比为黄金分割比的矩形。  不断分离正方形，剩下的始终还是黄金矩形。 等等，这货好像有点眼熟？ 斐波那契数列 找规律：1，1，2，3，5，8，13，21，34…… 后一个数总是等于前面两数之和，这就是斐波那契数列，因斐波那契以兔子繁殖为例来引入，故又称兔子数列。 假定： ①兔子在出生两个月后，就有繁殖能力； ②一对兔子每个月能生出一对小兔子来； ③所有兔子都不死。 那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第1个月，小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 第2个月，兔子长大了，但这个月还是生不了； 第3个月，终于生出了第一对小兔子，所以现在一共是2对了； 第4个月，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是3对； 第5个月，…… 依次类推可以列出下表： 说明：幼仔对数=前月成兔对数 成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数 抛去前几项不同外，后面数列的变化规律都是一样的，前后一项总等于前两项之和。 再说说通项公式吧，作为数列研究的重点内容，斐波那契数列的通项有点抽象，其结果为 明明是一串整数列，通项却含有无理数，以及这里出现了φ。 那，这跟黄金分割到底有什么关系呢？ 简单说，这串数列的前一项与后一项的比值，随着数列的延续越接近黄金分割比，不妨再列个表： 真假黄金螺旋线 图形通常比数字更直观，分别以斐波那契数列各项值为边长作正方形，分别作四分之一圆，可得斐波那契螺旋线： 另外还记得刚刚所画的黄金矩形吗？同样在里面作四分之一圆，得到黄金螺旋线： 两个图像是不是像极了？但明显，其实并不完全一样，放在同一个图中，下图红色是黄金螺旋线，绿色是斐波那契螺旋线，不放到一块还真看不出来长得不一样咧。 黄金螺旋线是对数螺线e^θ，多留意下我们的大自然，就会发现有很多与其类似的图案。 这个有点好看啊 旋转的扶梯 漂亮的小姐姐 漂亮的小姐姐们 最后一位大哥有点乱入啊 浩瀚的宇宙 原来，世界一切皆黄金分割啊！ 发挥一下，沉睡的喵星人 哦苹果 以及封神的蒙娜丽莎 甚至我棋 有位大哥表示，我也要当黄金分割脸，经过精密的计算，需要这么整： 黄金分割确有美妙之处，但也无需过度神化，毕竟，上面这些认真来说，没有一条黄金螺旋线，莫要把数学玩坏了撒~ 史上研究螺线的大咖并不少，其中最有趣的当属瑞士数学家雅各布·伯努利，他醉心于对数螺线（黄金螺旋线是对数螺线的一种）的研究，并发现不管对对数螺线作何变换，仍是对数螺线，惊叹于这种螺线的神奇，伯努利在遗嘱里要求在其墓碑上刻上黄金螺旋线，并配上“纵然变化，依然故我”，以示死后永生不朽！ 然而据说，工匠一个不小心，就刻成了阿基米德螺旋线，伯努利要是看得到估计气得能从坟墓里爬出来把工匠暴打一顿。 谢谢阅读。 |
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