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刘永东（广州市天河区教育局教研室） 苏德杰（广州市育才实验学校） 摘要：促进学生在数学活动经验中的飞跃生长和发展是中考数学专题复习的主要目的。复习中需要关注那些能生长为较高层次的或生长为知识技能的活动经验，可通过数学知识内部联系、数学与生活之间的联系、数学思维方式三个方面的专题教学活动获得，其中特别突出运用数学的思维方式进行思考，以增强获得“四基”与“四能”的经验。 关键词：数学活动经验；中考数学；专题复习 数学专题复习的重要性及其在中考复习中的地位和作用不言而喻。其核心教育价值不仅在于促进学生深化对数学思想的认识，更是促进学生数学活动经验的飞跃生长和发展。杜威认为,教育就是经验的改造或重组。这种改造或重组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。因此，在短暂的中考专题复习中，需要关注那些能生长为较高层次的活动经验，或能生长为知识与技能的数学活动经验。也就是通过教师有目的、有计划的专题教学，让学生获得感性知识、情绪体验和应用意识等具有发展性的经验认识。 一、课标对数学活动经验的阐释与启示 《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）中，将数学的基本活动经验与基础知识、基本技能、基本思想并列，那数学基本活动经验是什么？又是怎样分类的？如何认识和理解这些问题，众说纷纭，只是对数学活动经验是一种感受和体验的认识是相对统一的，此处不予细究，只从课标及其解读的阐释角度认识。课标指出，数学基本活动经验是亲身经历和感悟的结果，它包括“思维活动的经验”和“实践活动的经验”，数学活动经验需要在“做”的过程和思考的过程中长时间积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。《标准（2011年版）》解读也指出，数学活动经验并不仅仅是实践的经验，也不仅仅是解题的经验，更重要的是思维的经验，是在数学活动中思考的经验；并且细化为直接的活动经验、间接的活动经验、设计的活动经验和思考的活动经验。其中思考的经验是通过分析、归纳等思考获得的数学经验。例如，预测结果、探究成因等。由于中考专题复习的时间距离中考很近，对于实践活动的经验或者细化的前三类活动经验的教学难以在短期内有效实施。因此，笔者结合2014年全国中考试题，选择针对“思考的活动经验”进行专题复习教学探讨。 那如何理解“思考的活动经验”呢？其可从义务教育阶段的数学学习总目标中的数学思考和问题解决两方面去理解。一方面是体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系。平时可能就是学习一个数学知识，但数学是一个整体，数学知识之间有它的来龙去脉，专题复习就是引导学生把这些知识点连接成线，进而形成网状的知识体系，同时还在学科之间、生活之间的普遍联系中加深认知经验。另一方面是运用数学的思维方式进行思考，以增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(即“四能”)。数学思维既是从一般到特殊的演绎推理和理性思维，又包含以归纳为特征的合情推理和统计的思维规则，如分类、归纳、类比、联想、猜测等。而“四能”与“思考”能力是一致的，善于思维，才能发现和提出问题，善于思考才能分析和解决问题，进而获得数学活动经验。 由于当今对数学活动经验的分类不统一，分类标准不一样，相应结果也就不同。所以，为了教师便于理解和发展“思考的活动经验”，没有对其再进一步分类。只是按照中考命题中体现出来的数学知识内部联系、数学与生活之间联系、数学思维方式三个方面去举例阐述。 二、专题复习的核心内容和方法 际问题的能力。在“数与代数”领域，主要通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在“图形与几何”领域，主要是在研究图形（三角形、四边形、圆）性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形（变换）思考问题的过程，初步建立几何直观。在“统计与概率”中，了解利用数据可以进行统计推断，发展建立数据分析观念，感受随机现象的特点。在专题复习中，主要以两大领域为主线，通过领域内部及其相互渗透和融合，突出数学知识的基本规律，建立和沟通知识间的联系，把握知识的整体结构。具体来讲，数与代数中，以函数为统领，加强与方程、不等式的联系；在图形与几何中，以圆为背景，糅合直线型图形的有关知识进行内部综合，适当穿插图形变换；最后突出由动点引起几何图形变化从而产生的函数关系等两大领域的综合。由此通过合理的贯通，建立具有一定层次的知识网络，纵向加深知识层次，横向联系以发展思维能力（如图3）。 间，进而真正理解并掌握数学基本知识技能和思想方法，同时获得广泛的数学活动经验。 从数学思维方式上，主要体现在能独立思考，体会数学的基本思想，体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。特别是会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、类比和演绎进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；会运用数学概念、原理、思想和方法辨明数学关系。 在方法上，运用对数学思维活动经验的四个维度划分来开展专题内容分析与复习教学：观察联想、归纳猜想、数学表达、验证或证明（如图5）。即在专题复习中，从观察入手，在具体的情境中从数学的角度发现问题，观察数量及数量间的关系、图形及图形间的关系以及数量和图形间的关系，通过“异中求同或异中观同”来抓住本质和共性，会“同中求异或审同辨异”来区分模式和找到规律。进而从不同角度综合运用数学知识，寻求多样性的方法来解决问题。特别的，从特例开始循序渐进地进行归纳推理，包含利用最简代数式表示并在其中找规律以及循序渐进地猜想出一般规律的思维模式。概言之，即是通过观察联想和归纳猜想，尝试性分析特例、发现共性、特性和关系等探索规律和结论的“思考”过程，以这样一种数学思维模式获得一定的数学直观。 三、专题复习建议，兼谈2014年中考试题创设特色 数学活动经验既是一种过程，也是一种结果，最终是建立一定的数学思维模式。因此，基于数学活动经验的考核主要体现数学思维的应用。由此有两点专题复习启示：一是教学从简单问题开始，讲问题的来源，不去两头从中间讲。二是要循序渐进，让学生在逐步探索中体会问题的实质，真正经历观察联想、归纳猜想、数学表达、验证或证明的完整过程。以下从方法、内容、思想和能力四个方面给出建议，并从专题复习的核心内容和方法中提及的三个方面选择部分2014年全国各地中考数学试题，从命题角度兼谈其设题指导思想、特点、方法及考查规律等，建议所选案例均是针对中等生而言。 1.建议之1：在方法上坚持“以退为进，以小见大”的小专题复习方式 华罗庚认为，善于退，足够地退，退到最原始又不失重要性的地方去研究，是学好数学的一个诀窍。若在专题复习阶段来领悟和实践，则在思维层面上，能提升教师对问题具体呈现过程的设计合理性和学生对数学思想的理解。因此，可解决一道中等问题为主基调，先让学生“退”到解决问题的最基本概念或原理的回归学习，再用一条清晰的主线串联这些概念或原理，“进”到原题中解决问题，即“以退为进”；要求问题设计简洁，通过简化一些中考题，使之逼近学生最近发展区，以突出对中考主干内容和核心思想的考查，即“以小见大”。以退为进的策略，属外显行为，以小见大的思想，反映内在的能力变化。这种内部过程与外显行为相结合的对策正是在“学习的实质是内在心理的变化”的学习认知观下形成的。下面以二次函数和方程不等式等代数知识串联举一例说明。 （1）分层次进行习题设计。 第一层次：以退为进，自玩概念。 专题复习的重要性在于通过概括以提升能力，但该阶段不能摒弃基础谈专题，需把专题复习所运用的核心知识通过以题点知的方式呈现，并与基础复习时的问题有所不同，让学生自主学习以巩固基础。 但习得与变式的时间会更长，因此需要变式练习训练以促进迁移，此乃完整教学过程的最后两步，也是“以小见大”思维所在．选题设计上，寻找和挖掘问题内涵是关键，注重方法串联的题组学习，强调数学思想的主体突出，注意在中档题中促进学生认知策略获得和迁移，以及在简单题中促进学生进退思维提升；在讲题实施上，准确把握课堂内容的主线，做到选题和讲题合理、时间安排合理，教学方式合理，从而真正实现小专题复习的优效教学（此处由于篇幅关系，不呈现案例）。 2.建议之2：在内容上注重“内部串联，内外兼并”的大结构知识联系 在中考专题复习阶段，让学生积累见微知著的经验，是需要迫切解决的问题。注重对解题经验的辨认和回忆，尽量找出熟悉的成份；在熟悉的东西中，努力找出对新问题有用的东西.这是激活学生的命题联想系统，找到解题思路的关键。其被称之为“见微知著联想快速反应法则”：一看到新问题的假设或结论，已知或未知，或一看到反拐弯转化出来的中间结果或猜想中间站，与某公式、定理、定理之外的基本问题（反应块）或结果的老问题，有某些相同的成分或相同的结构，甚至仅仅有类似之处，就立即回想其解法，考虑移植的可能性，并立即作出快速反应，就按这个方向试试。 此种联想反映在内容呈现上，就是知识内部之间，内外部之间的一种应用经验串联，由此，我们需注意筛选和积累体现“内部串联，内外兼并”的典型问题，探讨研究它的一般思路和具体的处理方法，形成反应块，以便于学生记忆和提取。这里的内部串联是指代数或几何内部有关知识联系，内外兼并是指代数和几何之间的联系。 案例2：几何内部串联。 初中几何的知识以线段和角为主线，从问题类型来看，分为求解和求证两种，而由于推理角度不同，往往产生多种解法，因此几何教学经常出现一题多解。但搞“一题多解”训练不能训练出见微知著的本领，倒是见微知著本领可以使解题思路向各方延伸，提供实现一题多解的可能性。因此，一题多解后需进行多解归一，串珠成链，加深学生见微知著的体验以提升能力。 案例3：代数几何内外兼并。 数与形是数学的两翼，两翼齐飞方能在数学的世界里自由翱翔。对此，华罗庚有一诗给出了绝妙的论述：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。由此，以一题多变把代数几何的知识糅合在一起，有利于让学生理解内外兼并的大结构知识联系。
角形、平行四边形等几何知识。除此以外，还把图形运动变换带了进来，探求动点在图形上运动时，能否在函数图象上找到可以构成等腰三角形、直角三角形、平行四边形等的点。在解决过程中，学生会经历数学结合的各种类型，包括把图形的性质的问题转化为数量关系的问题，把数量关系的问题转化为图形性质的问题等。由于在探求这些符合条件的点的存在性时，往往需要根据图形本身的特殊性，运用数形结合思想达到求解的目的。因此学生在解题过程中就得以体会数形结合的好处，有了使复杂问题简单化，化难为易的解题经验. 以上三个案例都在阐述同一个观点：题不在多，在于精彩。何为精彩的题？那就是能“内部串联，内外兼并”的问题。靠学生去发掘这种问题，显然是不现实的，因此在中考专题复习阶段，教师应发挥主导作用，深入研究，用求联求变的宗旨将问题整合、优化后，再呈现给学生必能达到以少胜多，提高复习效率的目的。 3.建议之3：在思想上关注“几何直观，模型思想”的新核心概念渗透 几何直观和模型思想作为课程标准新增的核心概念，除了在平常教学中给予充分关注和落实外，专题复习是一个经验从量变到质变的快速累积阶段，在思想上应突出关注。几何直观是指利用图形描述和分析问题，是在直观感知的感性基础之上所形成的理性思考的结果所致。由于图形语言形象且直观，能帮助学生认识问题和理解问题，因此用图形“说话”，用图形描述问题，用图形分析问题等借助几何直观进行思考，有助于探索解决问题的思路，预测结果。使直观变成数学发现的向导，是一种很重要的研究策略。因而，利用几何直观“借助图形进行思维”的基本特征，“画一个图表示正在思考的问题包括它的条件、彼此间的关系，以及需要确定的结论等”帮助学生在头脑里构建基本的图形结构和变化方式。 而模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。过程包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数、解直角三角形等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义（可以三角函数应用为例说明，原题的参考数据略）。
不仅考查三角函数的应用，而且关注到概念本身学习的过程，即若可测AD长，即可利用正切求出桥长，然而，AD不可直接测量，则可按如题方式借助三角函数建立方程模型解决问题，虽然问题常规，但却经典，说明运用模型思想解决生活中的问题并不需经常创新。问题20却是抽象与模型想融合，从实物总抽象出示意图，需要学生自己进行模型选择，即构建合适的直角三角形模型，进而转化已知条件求解，难度不大，却凸显思想。因此，前者可视作程式化或技术化，体现模型的细致度，后者不是僵化的模型套用，体现模型粗放度，思想需要过程和时间组合成为经验，进而积淀方成。 值得一提的是，形成模型思想还体现在蕴含着大量与数量和图形有关的现实生活中的问题，例如将军饮马，造桥选址等问题，利用数学的概念、原理和方法去解释和解决。专题复习阶段着力突出模型思想发展应用意识，不仅仅是单纯应用数学模型解决生活实际问题，还应通过对解题活动的回顾与探讨、分析与研究，帮助学生建立同类问题的数学模型，提高学生分析和解决问题能力，同时拓展模型外延，将数学模型进行适度的生成、拓展和重塑，派生出新的数学模型。现以题问21为例概括这两个概念。
线”，而是让学生在平移线段的变换中通过两条线段交点去寻找对称轴（如图12），不同的平移产生不同的对称轴，由此引出不同的解法，但共性方法却是一致的，体现反思性经验积累的重要性。 可见，专题复习时需要注重学生的操作观察，辨别异同，在特殊处思考，找到解题的切入点，发展从特例到一般的归纳思维经验以及识别基本模型的转换思维，教师应注意对问题的解构思考，在问题变式进退中完善经验。 4.建议之4：在能力上加强“推理运算，贯穿始终”的双核心能力发展 推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理能力是课程标准十个核心概念之一，是培养学生数学素养的重要内容。波利亚认为，数学有两个侧面……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学，即但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。换言之，应该有两类推理，即用合情推理获取猜想，用演绎推理验证猜想.两种推理功能不同，相辅相成。 而运算能力，主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。反映在理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题方面上。特别是抽象的字母运算，是数学思考的重要内涵。运算能力是需要经过一定数量的练习而逐步形成的，要使学生通过各种运算和对代数式、方程和不等式的变形，结合概念、法则、公式、性质进行恒等变形和简单推理，从而做到在运算中发展推理能力，在推理中发展运算能力，两大核心能力并重发展。在专题复习阶段，教师要善于为学生提供这样的训练机会，以积累这两种问题解决能力的经验。
问题23让学生既经历探索结论、提出猜想的过程，又经历用演绎推理验证猜想、证明结论的过程，在教学中，可引导学生经历这样的过程，即通过测量等观察操作方式来发现三条线段的数量关系，以发展学生合情推理能力的过程；进而通过旋转变换演绎证明结论的正确性。这样在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生提升数学素养极为有利。
【评析】此题是纯几何图形背景，通过图形变换引起相关线段或面积的变化，涉及三角形、四边形、圆的图形性质的复合应用，这些图形均可转化为最基本的图形来做运算，即三角形，并且三个小小题均是求值问题，显而易见，这是把几何问题转化成代数问题来求解，而这与运用勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等建模紧密相关，因此只需找到等量关系即可列式求解，而这个可利用面积法求求解。此题源自课本习题的改编，从矩形的折叠变换更换为梯形的折叠，折叠之后顶点的落脚处设计在中位线上，因此，如果学生有矩形的折叠解题经验。例如，问题26这种利用相似或勾股定理求解经验，并形成一个基此题型特征，即在直角三角形中，已知两边长可以求出第三边，或已知一边长且知道另两边的关系式，也可利用勾股定理、相似与方程思想相结合进行解答。在专题复习中注意完善经验，即注意回归定理本源，用面积法求解。因为在勾股定理的几百种证法中，多是源于不同图形之间的面积关系，通过列式推导得出。这是学生把学到的定理知识再现与解题本源相结合的最佳时机，也是让学生在简单题中学习与积累数学活动经验中的反思性经验的核心价值。 四、写在最后 专题复习实质上是知识专题和方法专题紧密结合的复习。因此，要以“双基”为本，回归教材，适当拔高，查漏补缺，突出重点、渗透考点，实现对知识的重新地有效地整合；要以方法为脉，划分并选择有代表性、针对性的专题开展复习，注重考点串联，掌握通法；要以思想为魂，通过对三种数学基本活动经验地积累，从现实生活抽象出数学，在数学内容中通过推理发展数学，通过建立模型联系数学与外部世界，渗透对数学发展影响最大的三个基本思想，即抽象、推理和模型。 参考文献： [1]约翰·杜威.民主主义教育[M].王承绪,译.北京:人民教育出版社，2001. [2]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012. [3]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012. [4]仲秀英,宋乃庆.经验学习理论对数学活动经验教学的启示[J].西南大学学报(社会科学版),2009（6）:129-132. [6]陶行知.陶行知全集[M].长沙：湖南教育出版社，1985. [7]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平,唐瑞芬，等，译.上海:上海教育出版社，1995. [8]傅学顺，王屏山.数学思维方法[M].广州：广东高等教育出版社，1995. [9]孔凡哲,史宁中.关于几何直观的含义与表现形式—对《义务教育数学课程标准(2011年版)》的一点认识[J]. 课程·教材·教法,2012（7）:92-97. [10]马复. 理解数学课程的核心内涵[J].江苏教育,2014（14）:25-28. [11]波利亚.数学与猜想[M].李心灿，王日爽.李志尧译.北京：科学出版社，2001. [12]郭玉峰.数学基本活动经验研究[D].东北师范大学,2012. |
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