点、线、面的位置关系重点与难点 高考妙记

考点一 平面的基本性质及应用

四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
作用：可用来证明点、直线在平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
作用：判断空间两条直线平行的依据．

[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可确定无数个平面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，“有且只有”有时也说成“确定”．

【例1】在下列命题中，不是公理的是(　　)
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线
解析：选A　选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．

【例2】如图所示，在正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，AA₁的中点．求证：
(1)E，C，D₁，F四点共面；
(2)CE，D₁F，DA三线共点．


1．点线共面问题的证明方法：
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；
(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．
2．证明多线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．
 

考点二 空间两直线的位置关系

(1)位置关系的分类：


(2)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

[提醒]　
(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交；
(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．

【例1】若空间中四条两两不同的直线l₁，l₂，l₃，l₄，满足l₁⊥l₂，l₂⊥l₃，l₃⊥l₄，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l₁⊥l₄
B．l₁∥l₄
C．l₁与l₄既不垂直也不平行
D．l₁与l₄的位置关系不确定
解析：选D　构造如图所示的正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁，取l₁为AD，l₂为AA₁，l₃为A₁B₁，当取l₄为B₁C₁时，l₁∥l₄，当取l₄为BB₁时，l₁⊥l₄，故排除A，B，C，选D.


【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
答案：②③④


 

考点三 异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：

垂直分两种情况——异面垂直和相交垂直．

【例】如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD  ­A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB＝2，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为(　　)

用平移法求异面直线所成的角的三步法
(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．


 

考点四 平行关系的基本问题

1．直线与平面平行的定义
直线与平面没有公共点，叫做直线与平面平行．

2．平面与平面平行的定义
如果两个平面没有公共点，叫做两个平面平行．

解决有关线面平行，面面平行的判定与性质的基本问题要注意：
(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．


【例1】对于空间的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
解析：选D　对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．

【例2】已知m，n，l₁，l₂表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l₁⊂β，l₂⊂β，l₁∩l₂＝M，则α∥β的一个充分条件是(　　)
A．m∥β且l₁∥α　　　
B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l₂                                  
D．m∥l₁且n∥l₂
解析：选D　由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β，因此选D.

【例3】过三棱柱ABC-A₁B₁C₁的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB₁A₁ 平行的直线共有________条．
解析：过三棱柱ABC­A₁B₁C₁的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A₁C₁，B₁C₁的中点分别为E，F，E₁，F₁，则直线EF，E₁F₁，EE₁，FF₁，E₁F，EF₁均与平面ABB₁A₁平行，故符合题意的直线共6条．
答案：6
 

考点五 直线与平面平行的判定与性质

1．直线与平面平行的判定定理
自然语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
简称：线线平行，则线面平行．
符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.
[提醒]　在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．

2．直线与平面平行的性质定理
自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
简称：线面平行，则线线平行．
符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
[提醒]　一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．

证明直线与平面平行，一般有以下几种方法
(1)若用定义直接判定，一般用反证法；
(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；
(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．



 

考点六 平面与平面平行的判定与性质

1．平面与平面平行的判定定理
自然语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
简称：线面平行，则面面平行．
符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β.
[提醒]　(1)如果一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行，则这两个平面相交或平行．
(2)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终可转化为“线线平行”问题．

2．平面与平面平行的性质定理
自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
简称：面面平行，则线线平行．
符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
[提醒]　平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行．

判定平面与平面平行的方法
(1)利用定义；
(2)利用面面平行的判定定理；
(3)利用面面平行的判定定理的推论；
(4)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；
(5)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．

【例】在正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别是C₁C，B₁C₁，C₁D₁的中点，求证：平面PMN∥平面A₁BD.
证明：法一：如图，连接B₁D₁，B₁C.
∵P，N分别是D₁C₁，B₁C₁的中点，
∴PN∥B₁D₁.
又B₁D₁∥BD，∴PN∥BD.
又PN⊄平面A₁BD，
∴PN∥平面A₁BD.
同理MN∥平面A₁BD，
又PN∩MN＝N，
∴平面PMN∥平面A₁BD.

法二：如图，连接AC₁，AC.
 
∵ABCD­A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴AC⊥BD.
又CC₁⊥平面ABCD，
∴AC为AC₁在平面ABCD上的射影．
∴AC₁⊥BD.
同理可证，AC₁⊥A₁B，
∴AC₁⊥平面A₁BD.
同理可证，AC₁⊥平面PMN，
∴平面PMN∥平面A₁BD.



 

考点七 垂直关系的基本问题

1．直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
2．两个平面垂直的定义
如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.

【例1】已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α⊥β且m⊂α    B．α⊥β且m∥α    C．m∥n且n⊥β      D．m⊥n且α∥β
解析：选C　由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．

【例2】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
解析：选C　选项A，B，D中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C.

【例3】设α，β分别为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件   C．充要条件     D．既不充分也不必要条件
解析：选A　依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．

解决垂直关系的基本问题要注意
(1)紧扣垂直关系的判定定理与性质定理．
(2)借助于图形去判断．
(3)举反例排除去判断．
 

考点八 线面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.

2．直线与平面垂直的性质定理
自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
[提醒]　一条直线与一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面不一定垂直，也有可能直线在平面内或平行于该平面，所以“相交”这一条件不可忽略．

证明直线和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理；
(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；
(4)利用面面垂直的性质．
当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．

考点九 面面垂直的判定与性质

1．两个平面垂直的判定定理
自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
符号语言：a⊂α，a⊥β ⇒α⊥β.
[提醒]　平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l⊂α，l⊥β，缺一不可．

2．平面与平面垂直的性质
自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
符号语言：α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD⇒AB⊥β.

1．判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．
在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．