【原】新教材里潜在的高考题系列19：历久弥坚三垂线定理

新教材好文系列继续，今天说一说教材里的三垂线定理.

不过，教材并没有直接给出，而是以习题的形式，引发读者的思考.

人教A版新教材必修2第164页，拓广探索的第19题.

1

三垂线定理、逆定理

三垂线定理及其逆定理，被评为少数几个“教材里没有但高考超实用的知识”之一.

内容不复杂，证明也容易.

一句话就是：

1. 垂直于射影，就垂直于斜线；
2. 垂直于斜线，就垂直于射影.

从1能够看出，三垂线定理尤其擅长处理异面直线垂直问题.

2

新老高考频繁考

嘴上说不要，身体很诚实，因为三垂线定理太实用.

AC和SD是异面直线，优先考虑三垂线定理.

取AC中点O，要证AC⊥SD，只需证明AC垂直SD在底面的射影OD.

PA和BD是异面直线，要证BD⊥PA，只需证明BD垂直于PA在底面的射影AD.

新高考也没有放过三垂线定理，尤其是在多选题中.

2021年新高考2卷第10题.

把MN所在的表面选做“标准面”，再研究OP在“标准面”上的投影是否与MN垂直.

这样一转化，思路立马变得清晰，选BC.

写到这里，留一道高考真题供读者朋友们练练手.

2021年新高考1卷第12题选项C，用三垂线转化会简化很多.

3

狗尾续貂：三余弦定理

为什么想到三余弦定理？

因为三垂线定理是三余弦定理的特例.

什么是三余弦定理呢？

平面α内直线AC，穿过平面的直线ＯＡ，ＯＡ在平面α上的投影AB

∠OAC=θ，∠OAB=θ1，∠BAC=θ2

则有cosθ=cosθ1×cosθ2

证明也很容易.

如图所示，过O做平面α的垂线，垂足为B.

在平面α内，过点B做BC⊥AC，垂足为C，连接OC.

然后把三个余弦值用边长表示，就得到三余弦定理.

显然，当θ2=90度时，cosθ2=0，于是cosθ=0，θ=90度，这就是三垂线定理.

高考有没有考到三余弦定理呢？

有.

2017年全国3卷理科数学第16题.

朋友们拿这道题练手吧，欢迎留言写下你的答案.

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