2018高考数学100弹之第94弹：回归教材之空间向量与立体几何(理科)

       空间向量运算是平面向量运算从二维到三维的升级，所以大家运算上基本上没有什么问题.

       问题是高考目前的考查方式基本上是以大题——建系——求角的模式出现的，所以很多同学对于这一章节也停留在这样一个认识中，对于不建立坐标系的运算就不熟悉.

       建系是找了三个两两垂直的向量作为基底，其实只要三个向量不共面，都可以作为基底，并不是说建系就是最好的方法.

       教材上一些需要注意的问题有：

一.共面向量定理：

       如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x,y，使：

c=xa+yb

       该定理就是平面向量的基本定理的升级版本，向量c在空间中任意移动了，该定理可以用来解决线面平行、四点共面等问题.

二.三垂线定理及其逆定理：

       三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.

       三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直.

       上述两个定理其实就是利用线面垂直的性质以及判定来证明，所以要重过程、轻结论.

三.三余弦定理：

       在线面角的定义中，介绍了三余弦定理，这个我在2018高考数学100弹之第51弹：三余弦定理(理科）中作了详细的介绍.

       一定要注意直线与平面所成的角和直线与平面法向量所成的角的关系.

四.二面角问题：

       1.射影法求二面角：已知二面角α-l-β的度数为θ(0<><π )，在α面内某图形的面积为s，它在β内的射影面积为s''，则cosθ="">

       该定理不要求证明，在小题中要会直接使用.

       2.二面角的平面角是锐角还是钝角，一般都看图直接说明，当看图不是很确定的时候，就要通过两个面的法向量的方向来确定.

五.有必要做做的题：

1.求证:四点A(3,0,5),B(2,3,0),C(0,5,0),D(1,2,5)共面.

2.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，满足下面条件的点M,是否一定在平面ABC内？

3.已知四面体ABCD的棱AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.

4.已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为60^o，这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为45度，求斜线与平面所成角的大小.

5.已知三个平面AOB，BOC，AOC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠AOC=60^o,求直线OA与平面OBC所成角的大小.

6.已知平行六面体ABCD-A''B''C''D''各棱长都是1，∠BAD=∠BAA''=∠DAA''=60^o,求对角线AC''的长.

7.已知平行六面体ABCD-A''B''C''D''底面是边长为1的正方形，侧棱AA''的长为3，

∠BAA''=∠DAA''=120^o,求：

(1)对角线AC''和BD’的长;

(2)BD''和AC所成角的余弦值.

8.已知平行六面体ABCD-A''B''C''D''底面是边长为3的正方形，侧棱AA''的长为5，

∠BAA''=∠DAA''=60^o,求：

(1)对棱AC''与底面ABCD所成的角的大小;

(2)求该平行六面体的体积.

9.一个线段夹在一个直二面角内，它和两个面所成的角都是30^o,求这条线段与这个直二面角的棱所成的角.

10.已知三棱锥的底面是两条直角边分别为6和8的直角三角形，各侧面与底面所成的角为60^o,求棱锥的高.

11.已知A,B,C,D是空间的四个不同的点，求证直线AC垂直于BD的充要条件是：

AD²+BC²=CD²+AB².

12.已知四面体OABC的各棱长为1，D是OA的中点，求直线BD与AC所成的角的大小.