3.2.3 直线与平面的夹角

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

       3.2.3  直线与平面的夹角

3.2.4  二面角及其度量

3.2.5  距离

 

二. 教学目的

1、理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性；会求直线与平面的夹角．

2、掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角；掌握求二面角大小的基本方法与步骤．

3、理解图形F₁与图形F₂的距离的概念；掌握点线距、线线距、线面距、面面距的概念，会解一些简单的与距离有关的问题．

 

三. 教学重点、难点

◆重点：

（1）斜线与平面所成的角（或夹角）及其求法；

（2）二面角的概念，二面角的平面角的定义；

（3）点线距、线线距、线面距、面面距的概念；点到平面距离的求法．

◆难点：

（1）二面角大小的求法．

（2）斜线与平面所成的角的求解；公式的灵活运用．

 

四. 知识分析

3.2.3直线与平面的夹角

1、提出问题：

（1）直线与平面的位置关系有哪些？（l，或l//α，或l（l⊥α））

（2）当直线与平面斜交时，“倾斜程度”该如何衡量？（此时，对线面角的提出有了强烈的要求）

（3）线面角的大小怎样度量？

方案：转化为合适的线线角．

【探究】已知平面γ及它的一条斜线l，斜足为O，则过O在平面γ内的直线m与l所夹的角是否不变？

先观察：肯定变化

再论证：在l上取一点P，作PQ⊥γ于Q，过Q作QM⊥m于M，连接PM，易知PM⊥m．如图记l与m所成的角（即∠POM）为β，记l与它在平面γ上的射影OQ所成的角为θ，∠QOM＝α在OM上取单位向量，则

               

这说明，由于θ为定角，所以β随α而变化：

当α＝0°时，取得最大值，从而β取最小值θ；

当α＝90°时，取得最小值，从而β取最大值90°；

【结论】

斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．

2、定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）．

注：（1）数学思想——转化：线面角→面面角

（2）关键：找射影

【练习】

（1）在棱长都为1的正三棱锥S－ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是________．

（2）在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

①BC₁与平面AB₁所成的角的大小是___________；

②BD₁与平面AB₁所成的角的大小是___________；

③CC₁与平面BC₁D所成的角的大小是___________；

④BC₁与平面A₁BCD₁所成的角的大小是___________；

⑤BD₁与平面BC₁D所成的角的大小是___________；

（3）已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60°，试求OA与平面BOC所成的角的大小．

 

3.2.4二面角及其度量

1、二面角的概念及记法

定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；叫做二面角．

说明：对二面角概念的理解，可类比与平面几何中角的定义．射线——半平面，顶点——棱．

2、二面角的平面角

定义：在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量．我们约定，二面角的范围[0°，180°]．

【探讨】尝试用向量求二面角的大小

如图所示，分别在二面角的面α、β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量n₁⊥l，n₂⊥l，则我们可以用向量n₁与n₂的夹角来度量这个二面角．

     如图，设m₁⊥α，m₂⊥β，则角<m₁，m₂>与该二面角相等或互补．

3、求二面角平面角的方法

（1）定义法

实例：过空间一点O出发的三条射线OA、OB、OC，两两夹角60°，试求二面角B－OA－C的大小．

分析：如图，在射线OA上取点P，使OP＝1，过P作PM⊥OA，交OB于M，作PN⊥OA，交OC于N，连接MN．则显然∠MPN为所求二面角的一个平面角．

利用已知条件可以迅速求出OM＝ON＝MN＝2，PM＝PN＝．利用余弦定理，就可以求出∠MPN的大小为．

（2）三垂线定理

实例：如图，已知直角Rt△ABC，∠ACB＝90°，PB⊥平面ABC，试求二面角B－PA－C的大小．

分析：由已知，得：平面PAB⊥平面ABC，为了找此二面角的一个平面角，我们可先过C作CM⊥AB，这样CM⊥平面PAB，然后，过M作MN⊥PA于N，连接CN．根据三垂线定理，得：CN⊥PA，于是∠MNC就是所求二面角的一个平面角．（想一想，还可以怎么做？）

 

3.2.5距离

【求距离的注意事项】

（1）求空间各种距离时，要紧紧抓住线线、点面、线面、面面之间距离的转化，其中，最基本、最重要的是点面距．

（2）求距离和求角一样，都要按照一作二证三计算的步骤进行，不可忽视第二步的证明．

（3）求距离时，要注意四点：

①合理选点：当线面平行时，选端点中点、交点．当用体积法求点面距时，选高线长容易确定的顶点．

②点点距离等于向量的模长，建立空间直角坐标系，探求向量坐标，继而求出模长、思路更加清晰，学生更易掌握．

③异面直线的距离注意考纲要求，不要扩张．

④注意立体几何与代数内容的结合点，如几何背景下的函数最值问题，几何问题代数化的向量方法等等．

 

【典型例题】

例1. 正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，如图所示，E，F分别是棱AA₁、AB的中点，求EF和平面ACC₁A₁所成角的大小．

       解析：解法1：过F作FG⊥AC于点G，连结EG，

       ∵平面⊥平面ABCD且交线为AC

       ∴FG⊥平面，

       EG为EF在平面内的射影，

       ∴∠GEF即为EF与平面所成的角

       设正方体棱长为1，则

       又RtΔAGF中，∠GAF＝

       ∴

       ∴RtΔEGF中，

       ∴∠GEF＝

       解法2：∵E、F分别是、AB的中点

       ∴

       ∴所求即为与平面所成角

       设AC和中点为，则

       由平面平面ABCD得

       ∴∠即为所求．

       设正方体棱长为1，

       RtΔ中，

       ∴

       解法3：建立如图所示的直角坐标系，

       设正方体棱长为2，则E（2，0，1），F（2，1，0）

       作FG⊥AC于G，由解法1知，∠GEF即为所求．

       ∵RtΔAGF中，∠GAF

       ∴

       ∴G（，，0），（，，－1），（0，1，－1）

       ∴

      

       ∴

       ∴EF与平面所成角为．

点评：此题考查直线和平面所成角，其中，利用定义找射影是基本方法，确定斜线在平面内射影的一般步骤：先找直线上不同斜足的一点（通常是已知的相关点）在平面内的射影，再将其与斜足连结，即得．

 

例2.（2004，江苏卷）在棱长为4的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁＝4CP．

（1）求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；

（3）求点P到平面ABD₁的距离．

       解析：（1）∵AB⊥平面，

       ∴AP与平面所成的角就是∠APB．

       如图建立空间直角坐标系，坐标原点为D．

       ∵

       ．

       ．

       ∵，

       ．

       ∴直线AP与平面所成的角为．

       （2）连结，由（1）（0，0，4），O（2，2，4）．

       ∴（2，2，0），．

       ∴．

       ∵平面的斜线在这个平面内的射影是，

       ∴．

       （3）连结，在平面中，过点P作PQ⊥BC₁于点Q．

       ∵AB⊥平面，．

       ∴PQ⊥AB

       ∴PQ⊥平面．

       ∴PQ就是点P到平面的距离．

       在RtΔ中，∠C₁QP＝90°，

       ∠PC₁Q＝45°，PC₁＝3，∴，

       即点P到平面ABD₁的距离为．

 

 

例3. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，．求面SCD与面SAB所成角的二面角θ的正切值．

       解析：以A为原点，AD，AB，AS分别为x，y，z轴建立直角坐标系，依题意有

       S（0，0，1），C（1，1，0），D（，0，0），

       设（x，y，z）是面SCD的一法向量，

       则

       ．

       解得n＝（2，－1，1），

       因为＝（，0，0）是面SAB的一法向量，

       所以，．

 

例4. 如图，底面等腰直角三角形的直三棱柱，∠C＝，，D为上的点，且，求二面角的大小．

       解析：因为∠C＝，所以AC⊥BC，又直三棱柱，于是以C为原点，建立如图的空间直角坐标系，设，则A（0，3，0），B₁（3，0，3），D（0，0，2），

       所以（0，－3，2），＝（3，－3，3）

       设平面的法向量为（1，λ，μ），

       则           即

       所以               所以＝（1，－2，－3）．

       而平面的法向量即为＝（0，3，0），

       所以

       ∴所求二面角大小为

 

【模拟试题】

1. 正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（    ）

       A.                        B.                         C.                         D.

  2. 正四面体ABCD，E、F分别为AC、AD中点，则ΔBEF在面ADC上的射影是（    ）

  3. 平行六面体中，六个面都是菱形，则在平面上的射影是Δ的（    ）

       A. 重心                       B. 外心                       C. 内心                       D. 垂心

  4. 一直线与两个互相垂直的平面所成的角分别为α、β，则（    ）

       A.                                               B.

       C.                                               D.

  5. 一直线l，与平面α斜交成θ角，那么直线l与平面α内所有直线所成的角中，最小角和最大角分别是（    ）

       A. 0，                     B. θ，              C. 不能确定                D. 以上都不对

  6. 已知在ΔABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC，平面ABC外一点P到三个顶点的距离都是14，那么点P到面ABC的距离为（    ）

       A. 49                           B.                        C.                       D. 7

  7. 线段AB夹在直二面角内，，，AB与α、β所成的角分别为θ、，那么为（    ）

       A.                        B.                        C.                        D.

  8. 平面α内的∠MON＝60°，PO是平面α的斜线段，PO＝3，且PO与∠MON的两边都成45°的角，则点P到α的距离为（    ）

       A.                         B.                       C.                         D.

  9. E是正方形ABCD的边AB的中点，将ΔADE和ΔBCE沿DE、CE向上折起，使A、B重合于点P，则二面角D—PE—C的大小为（    ）

       A. 45°                        B. 60°                        C. 90°                        D. 大于90°

  10. 在棱长为1的正方形中，平面与平面的距离为（    ）

       A.                           B.                            C.                         D.

  11. 在三棱锥P—ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在面ABC内的射影是ΔABC的__________．

  12. 长方体中，，AB＝2a，则对角线与平面ABCD所成角的余弦值为__________．

  13. ΔABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2cm，3cm，4cm，且它们在α的同侧，则ΔABC的重心到平面α的距离为__________．

  14. 已知RtΔABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB//α，AB，AC、BC分别和平面α成45°和30°角，则AB到平面α的距离为__________．

  15. 在正四边体A—BCD中，E、F分别为AD、BC中点．

       （1）求AF与CE所成角的余弦值．

       （2）求CE与面BCD所成的角．

  16. 在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，求直线与侧面所成的角．

  17. 已知正方体的棱长为a，M为中点，O为的中点．

       （1）求证：MO为与的公垂线段，并求OM长；

       （2）求证：与面所成的角．

       （3）求证：；

       （4）求证：平面//平面，并求这两个平面的距离．

  18. 如图：多面体由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，建立如图坐标系．

       （1）求与点G的坐标；

       （2）求异面直线EF与AD所成的角；

       （3）求截面AEFG与底面ABCD所成的锐二面角的正切值．

 

 

 

【试题答案】

  1~10    C A D D A    D D A B C

  11. 外心

  12.

  13. 4

  14. 2

  15. 证明：（1）AB＝AC＝AD＝a

       设，，

       ，

      

       ，

       ，

       ∴，

       ∴AF与CE夹角为．

       （2）AO为正四面体的高，

       ，（EH为过BCD作的垂线段）

       ∠ECH为EC与面BCD所成的角，

       ，

       ∴CE与面BCD所成的角为

  16. 取中点D，

       ∵Δ是正Δ，∴

       ∵是直棱柱

       ∴

       连结AD．

       ∴∠DAB₁是所求的角，，，

       ∴∠DAB，∴∠

  17. （1）建立如图坐标，A₁（a，0，0），A（a，0，a），B₁（a，a，0），D（0，0，a），O（，，），M（a，0，），

       ，OM⊥AA₁．

       ，OM⊥BD．

       ．

       （2），

       ∴B₁D与面AB₁成角为

       （3）B₁D⊥A₁C₁，B₁D⊥A₁B，

       ∴B₁D⊥面A₁BC₁．

       （4），，

       ∴面．

       ∵，

       ∴的法向量，

       （－a，－a，a），

       ∴面距离．

  18. 解析：由题图可知A（1，0，0，），B（1，4，0），E（1，4，3），F（0，4，4），

       ∴（－1，0，1）．

       设G（0，0，z），因为平面ADG//平面BCFE，且截面AEFG截平面ADG和平面BCFE分别于AG、EF，所以AC//EF，同理可得AE//FG．

       ∴四边形AEFG是平行四边形．

       ∴                 ∴（－1，0，1）＝（－1，0，z），．

       ∴G（0，0，1）．

       （2）＝（－1，0，0），∵，，

       ，

       ∴．

       ∴

       即AD与EF所成的角为45°

       （3）＝（1，4，3）－（1，0，0）＝（0，4，3），

       ．．

       ，∴

       S_{平行四边形AEFG}＝．

       由射影面积，设平面AEFG与平面ABCD成θ°角

       ∴，∴．