高中数学 | 回避平面角来求二面角的大小的三种方法

一、将二面角的大小化归为分别与两个半平面共面且垂直于棱的两个向量所成的角

例1、如图1，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。

图1

（I）求点P到平面ABCD的距离；

（II）求面PAB与面CPB所成二面角的大小。

解析：（I）过点P作底面ABCD的垂线，垂足为E。连结BE交AD于点F，则BE是PB在底面ABCD内的射影。因为PB⊥AD，所以由三垂线定理及其逆定理得AD⊥BE，AD⊥PF。于是∠PFB就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角，则∠PFB=120°，∠PFE=60°。因为侧面PAD是边长等于2的正三角形，AD⊥PF，所以AF=1，PF=。在Rt△PEF中，，即点P到平面ABCD的距离为。

（II）因PB⊥AD，AD//BC，则PB⊥BC。在等腰三角形PAB中，AP=AB，取边PB的中点G，则GA⊥PB。向量与所成的角θ就等于面PAB与面CPB所成二面角的大小。以E为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则有、、，

于是。

，

则。

∴面PAB与面CPB所成二面角的大小为。

使用此法时要注意所选的两个向量所成的角与二面角的关系。

二、将二面角的大小化归为两个半平面的两个法向量所成的角

例2、如图2，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E、F分别是AB、BC上的点，且EB=FB=1。求二面角C-DE-C₁的正切值。

图2

解析：以A为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，3，0）、D₁（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C₁（4，3，2）。

于是，

设向量与平面垂直，

则

，其中z>0。

取n₀=（-1，-1，2），则n₀是一个与平面C₁DE垂直的向量。

∵向量与平面CDE垂直

∴n₀与所成的角θ为二面角C-DE-C₁的平面角。

使用此法时应注意所取的两个向量所成的角与二面角的关系。

三、利用射影面积公式求解

例3、同例2。

解：由已知可得三角形C₁DE在面ABCD内的射影是三角形CDE，且，。于是三角形C₁DE是面积，而三角形CDE的面积。

设二面角的大小为θ，由射影面积公式得，则。

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