立体几何

昵称21334167 2015-01-15

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1 基本概念

立体几何空间图形

　　数学上，立体几何(solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称。立体几何一般作为平面几何的后续课程，暂时在人教版数学必修二中出现。立体测绘(Stereometry)是处理不同形体的体积的测量问题。如：圆柱，圆锥，圆台，球，棱柱，棱锥等等。毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。

2 定理口诀

立体几何　　点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。

　　垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。 ^[1]

　　方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。

　　立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。

　　异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。

3 基本课题

课题内容

立体几何图形(3)　　包括：

　　- 面和线的重合

　　- 两面角和立体角

　　- 方块，长方体，平行六面体

　　- 四面体和其他棱锥

　　- 棱柱

　　- 八面体，十二面体，二十面体

　　- 圆锥，圆柱

　　- 球

　　- 其他二次曲面：回转椭球，椭球，抛物面，双曲面

　　公理

　　立体几何中有4个公理

　　公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

　　公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

　　公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

　　公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。

　　各种立体图形表面积和体积一览表　　　　

名称	符号	面积S	体积V
,正方体	a——边长	S=6a^2	V=a^3
,长方体	a——长,　　b——宽,　　c——高	S=2(ab+ac+bc)	V=,abc
,棱柱	S底——,底面积,　　h——高	S=S侧+2S底	V=Sh
,棱锥	S——底面积,　　h——高		V=Sh/3
,棱台	S1和S2——上,下底面积,　　h——高		V=h[S1+S2+√（S1S2）]/3
,拟柱体	S1——上底面积,　　S2——下底面积,　　S0——中截面积,　　h——高		V=h（S1+S2+4S0）/6
,圆柱	r——底半径　　h——高　　C——底面周长C=2πr 　　S底——底面积　　S侧——侧面积　　S表——表面积	S底=πR^2,　　S侧=Ch,　　S表=Ch+2S底	V=S底h=πr^2h
空心圆柱	R——外圆半径,　　r——内圆半径,　　h——高		V=πh(R^2-r^2)
,直圆锥	r——底半径,　　h------高,　　l,——,母线	S=πr(r+l)	V=πr^2h/3
,圆台	r——上底半径　　R——下底半径　　h——高　　　l-------母线	S=π(,r2,+R2+rl+Rl）	V=πh(R^2+Rr+r^2)/3
,球	r——半径,　　d——直径,	S=4πr^2	V=4/3πr^3=πd^3/6
,球缺	h——球缺高　　r——球半径　　a——球缺底半径 a^2=h(2r-h)		V=πh(,3a,^2+h^2)/6,=π,h2,(3r-h)/3
,球台	r1和r2——球台上,下底半径,　　h——高		V=πh[3(r12+r22)+h2]/6
圆环体	R——环体半径　　D——环体直径　　r——环体截面半径　　d——环体截面直径		V=2π^2Rr^2,=π^2Dd^2/4
桶状体	D——桶腹直径,　　d——桶底直径,　　h——桶高,		V=πh(2D^2+d2^)/12 （母线是圆弧形，圆心是桶的中心）　　V=πh(2D^2+Dd+3d^2/4)/15 （母线是抛物线形）

　　注：初学者会认为立体几何很难，但只要打好基础，立体几何将会变得很容易。学好立体几何最关键的就是建立起立体模型，把立体转换为平面，运用平面知识来解决问题，立体几何在高考中肯定会出现一道大题，所以学好立体是非常关键的。

三垂线定理

　　在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

　　三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线 垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。

　　1，三垂线定理描述的是PO(斜线)，AO(射

　　影)，a(直线)之间的垂直关系.

　　2，a与PO可以相交，也可以异面.

　　3，三垂线定理的实质是平面的一条斜线和

　　平面内的一条直线垂直的判定定理.

　　关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线.

　　至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的.

　　从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂，

　　二射，三证.即几何模型第一，找平面(基准面)及平面垂线

　　第二，找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与

　　一条斜线.

　　第三，证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直.

　　注：

　　1.定理中四条线均针对同一平面而言

　　2.应用定理关键是找"基准面"这个参照系

　　用向量证明三垂线定理

　　已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直OA，求证：b垂直PA

　　证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为OA垂直b 向量PA=（向量PO+向量OA）

　　所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO 乘以 b）加（向量OA 乘以 b ）=O，

　　所以PA垂直b。

　　2）已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直PA，求证：b垂直OA

　　证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为PA垂直b，向量OA=（向量PA-向量PO）

　　所以向量OA乘以b==（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA 乘以 b ）减（向量PO 乘以 b ）=0，

　　所以OA垂直b。

　　2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交线OA于平面OBC所成的角。

　　向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又因为AB=BC=CA，所以OA于平面OBC所成的角是30度。

4 二面角

定义

　　平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面）

平面角

　　以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

　　平面角是直角的二面角叫做直二面角。

　　两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

大小范围

　　0≤θ≤π

　　相交时 0<θ<π，共面时 θ=π或0

求法

立体几何　　有六种：

　　1.定义法

　　2.垂面法

　　3.射影定理

　　4.三垂线定理

　　5.向量法

　　6.转化法

　　二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。

　　由公式S射影=S斜面 cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得

　　也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1，n2的坐标求出来。然后根据n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α

　　二面角的通常求法：

　　（1）由定义作出二面角的平面角；

　　（2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；

　　（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；

　　（4）空间坐标求二面角的大小。

　　三垂线法其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。

　　（3）中利用三垂线定理求二面角，如图，前提条件是平面α与平面β的交线为 l。直线AB垂直于平面β于B点，交α于A点，步骤是：

　　第一步，过B作BP垂直于l与P。

　　第二步，连接AP。则∠APB为二面角A-l-B的平面角。

　　第三步，求出∠APB的大小，即为二面角A-l-B的大小。

　　如果是利用三垂线逆定理，前提条件相同，步骤是：

　　第一步，过A作AP垂直于l与P。

　　第二步，连接BP。则∠APB为二面角A-l-B的平面角。

　　第三步，求出∠APB的大小，即为二面角A-l-B的大小。

基本步骤

立体几何图形矢量图

　　（1）作出二面角的平面角：

　　A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；

　　B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；

　　C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角； D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。

　　（2）证明该角为平面角；

　　（3）归纳到三角形求角。

　　另外，也可以利用空间向量求出。

5 空间向量

向量描述

向量描述法

　　直线的方向向量：向量所在直线和直线平行或重合的向量叫做直线的方向向量。点的位置向量：选一点作为基点，空间中任意一点可用向量OP表示。

　　平面的法向量：如果 α所在的直线垂直于平面β，那么 α是β的法向量。

位置关系

　　设直线m、n的方向向量为a、b，平面e、f的法向量为c、d，那么位置关系可列表：

	平行	垂直
直线-直线	m//n->,a=,kb	m⊥n->,ab,=0
直线-平面	m//e->,ac,=0	m⊥e->,a=,kc
平面-平面	e//f->,c=,kd	e⊥f->,cd=0

空间的角

　　直线所成的角：设直线m、n的方向向量为a、b，m，n所成的角为a。

　　cosa=cos=|a*b|/|a||b|

　　直线和平面所成的角：设直线m的方向向量为a，平面e的法向量为c。

　　设b为m和e所成的角，则b=π/2±<a，c>。sinb=|cos<a，c>|=|a*c|/|a||c|

　　二面角：当双法向量的朝向一致时，平面e、f的法向量为c、d 各种角设二面角e-e∩f-f为a，那么a=π-<c，d>=π-|c*d|/|c||d|

　　当双法向量的朝向不一致时，平面e、f的法向量为c、d

　　设二面角e-e∩f-f为a，那么a=<c，d>=|c*d|/|c||d|

距离求解

　　异面直线的距离：l1、l2为异面直线，l1，l2公垂直线的方向向量为n，C、D为l1、l2上任意一点，l1到l2的距离为|AB|=|CD*n|/|n|

　　点到平面的距离：设PA为平面的一条斜线，O是P点在a内的射影，PA和a所成的角为b，n为a的法向量。

距离

　　易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

　　直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离；

　　平面到平面的距离为在平面上一点到平面的距离；点到直线的距离：A∈l，O是P点在l上的射影，PA和l所成的角为b，s为l的方向向量。

　　易得：|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin<PA，s>|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|

6 线面方程

定义

　　平面：在空间中，到两点距离相等的点的轨迹叫做平面。

　　直线：同时属于两个平面的点的轨迹。

　　或：在平面里，到两个点距离相等的点。

方程

　　平面：根据定义，设动点为M（x，y，z），两点分别为（a，b，c）和（d，e，f）

　　则[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]^1/2=[(x-d)^2+(y-e)^2+(z-f)^2]^1/2

　　x^2-2ax+y^2-2by+z^2-2cz+(a^2+b^2+c^2)=x^2-2dx+y^2-2ey+z^2-2fz+(d^2+e^2+f^2)

　　(2d-2a)x+(2e-2b)y+(2f-2c)z+(a^2-d^2+b^2-e^2+c^2-f^2)=0

　　形式为ax+by+cz+d=0

　　直线：根据定义，可列方程组：

　　ax+by+cz+d=0

　　ex+fy+gz+h=0

　　得其形式是：

　　x=jz+k

　　y=lz+m

线面求法

　　（1）三点式

　　则三点同时满足

　　ax0+by0+cz0+d=0

　　ax1+by1+cz1+d=0

　　ax2+by2+cz2+d=0

　　可得出a-b-c-d的关系，再把d取特殊值，解方程。

　　（2）点线式

　　可在线上找两个点，转化成三点式。

　　（3）双线式（不异面）

　　可在两个线上共找三个点，转化成三点式。得：ax+by+cz+d=0

　　（4）线斜式

　　斜率：该平面和xOy平面的二面角的正切。

　　求法：设该平面为ax+by+cz+d=0，xOy是z=0

　　即k=c/(a^2+b^2+c^2)且它通过y=kx+b，z=lz+a

　　根据判定，可得a-b-c-d的关系。再把d赋特殊值。

　　（5）两点式

　　用待定系数法求出k，l，m，n的关系，再取特殊值。

向量求法

　　直线：截取直线l上两点A（l，n，0）和B（k+l，m+n，1）方向向量为：AB=（k，m，1）

　　平面：取平面内三点：A(0，0，-d/c)B(1，1，-(d+b+a)/c)C(0，2，-(d+2b)/c)

　　AC=(0，2，-2b/c)AB=(1，1，-(a+b)/c)

　　设向量n：(x，y，c)为平面的法向量，则

　　2y-2b=0 x+y-(a+b)=0

　　->y=b x=a

　　则n=(a，b，c)为平面的一个法向量。

　　直线平面的关系

　　直线和直线：

　　设设直线方程为x=k1z+l1，y=m1z+n1和x=k2z+l2，y=m2z+n2

　　相交：两条直线所组成的方程组有实数解

　　平行：k1/k2=m1/m2且l1/l2≠n1/n2

　　异面：不相交也不平行

　　垂直：k1k2+m1m2=-1

　　直线和平面

　　设直线方程为x=kz+b，y=lz+a，平面方程为cx+dy+ez+f=0，p=k+l+e，q=a+b+f

　　属于：p=0，q=0

　　平行：p=0，q≠0

　　相交：p≠0

　　垂直：k/c=b/d=e

　　平面和平面

　　设平面方程为ax+by+cz+d=0和ex+fy+gz+h=0，p=a/e，q=b/f，r=c/g，s=d/h

　　相交：不平行

　　平行：p=q=r≠s

　　垂直：ae+bf+cg=0

7 图书

基本信息

　　出版社： 浙江大学；第1版 (2007年4月1日) 丛书名： 高中数学竞赛专题讲座 平装： 258页 开本： 0开 ISBN： 7308052338 条形码： 9787308052337 产品尺寸及重量： 23 x 18 x 1 cm ； 340 g ASIN： B0011F6NMC