【摘 要】本文应用两种定义的方式说明确界，并通过例题加以说明和区别。同时采用了反证法对确界原理加以简单证明。
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【关键词】数集 确界 确界原理
【中图分类号】O17 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）24-0087-01
一 关于数集上下确界的精确定义
设S是R中的一个数集，若η满足：（1）对一切x∈S，有x≤η，即η是S的一个上界；（2）对任何α<η，存在x0∈S，使得x0>α，即η又是S的最小上界，则称η为数集S的下确界，记作η=sup S。
同理可定义下确界ξ=inf S。
例1，设数集S有上确界，证明η=sup S∈S是η=max S的充分必要条件。
证明：充分性：设η=sup S∈S，对一切x∈S有x≤η，而η∈S，于是η是数集S中最大的数，即η=max S。
必要性：设η=max S，则η∈S。下面应用上述定义证明η是S的上确界：（1）对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；（2）对任何的α<η，只须取x0=η∈S则x0>α。从而满足定义，即η=sup S。
二 关于数集上下确界的第二种定义
设S是R中的一个非空数集，若实数η满足：（1）对任意x∈S有，x≤η，即η是S的一个上界；（2）对任意的ε>0，存在x0∈S，使得x0+ε>η（或x0>η-ε），即η又是S的最小上界，则称η为数集S的下确界，记作η=sup S。
同理可定义下确界ξ=inf S。
例2，设A与B都是非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y，x∈A，y∈B}。请证明：sup（A+B）=supA+supB。
证明：对任意的c∈A+B，存在a∈A，b∈B，使得c=a+b，则设supA=η1，supB=η2，于是a≤η1，b≤η2，c≤η1+η2。因此η1+η2是A+B的一个上界。
对于任意正数ε存在a∈A，b∈B，使得a>η1-，
b>η2-。于是，a+b∈A+B，并且a+b>（η1+η2）-ε，
于是sup（A+B）=η1+η2，即sup（A+B）=supA+supB。
三 关于数集的确界原理
设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
例3，设f（x），g（x）在D上有界，请证明：
。
证明：。即
是f（x）+g（x）在D上的一个下界。有下确界定
义，有。
另一方面，由下确界的定义，
。
所以，
。
综上可得，
。
四 用反证法证明确界原理
这里只证明有上界就必有上确界。
证明：设S是非空有上界的数集，即存在M，使得对一切x∈S有M≥x。所以再令E={y|y是S的上界，y≤M}，因为M∈E，所以E是非空集合。
任取y1，y2∈E，对于所有的0≤α≤1，有αy1+（1-α）y2∈E，所以E是一个连续的区间。
下面证E中存在最小的数，是S的上确界。
假设E中不存在最小的数，即E=（-∞，M]或E=（a，M]。
当E=（-∞，M]时，即-∞是S的上界，所以S必为空集，这与S≠?矛盾。
当E=（a，M]时，由aE可知a不是S的上界。所
以存在x0∈S，使得x0>a恒成立。所以，且
。即不是S的上界，即E… （1）
显然，当E=（a，M]时，必有∈E…（2）。（1）
与（2）矛盾，所以E=（a，M]不成立。
综上有E中存在最小的数，不妨记作η，则η=sup S
五 关于确界的拓展
若把±∞补充到数集中，则任意非空数集都有上下确界（正常的或非正常的）。
例如，对于正整数集N+有inf N+=1，sup N+=+∞；对于数集S={y|y=2-x2，x∈R}有inf S=-∞，sup S=2。
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析・上册（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011
[2]任亲谋.数学分析选讲[M].西安：陕西师范大学出版社，2008
[3]肖娟、邱德华.确界原理的一个简单证明[J].衡阳师范学院学报，2005（12）
〔责任编辑：李锦雯〕
