【原】伍胜健数学分析笔记和考研真题详解

第1章 函数

1.1 复习笔记

一、实数

1．数集

（1）集合的概念

集合是将具有某种特性的、确定的、互不相同的对象的全体作为一个整体，这些对象称为集合中的元素，若a是集合A中的元素，则记为a∈A，如果a不是集合A中的元素，则记为.

（2）集合的表示方法

①列举法：是将集合中的元素全部列出.

②描述法：是将集合的特性精确给出.

（3）子集的相关概念

①子集的定义：若集合A中的每一个元素X都属于集合B，则称B包含A，记为，此时也称A是B的子集.

②集合相等：如果和同时成立，则认为A，B是同一个集合，此时也记为A＝B.

③真子集的定义：若且A≠B，则称A是B的真子集，记为.

注：空集即中不含有任何元素,因此是任何集合的子集.

（4）集合的运算

给定集合A，B，集合有以下常用运算：

①称为A与B的并；

②称为A与B的交；

③称为A与B的差.

2．实数系的连续性

（1）分划的定义

设S是一个有大小顺序的非空数集，A和B是它的两个子集，如果它们满足以下条件

①

②

③都有

④A中无最大数，

则将A，B称为S的一个分划，记为.

（2）戴德金分割定理

对实数系R的任一分划（A|B），B中必有最小数.

3．有界集与确界

（1）有界集

①设集合并且，

a．如果存在使得对有≤M，则称E是有上界的，并且说M是E的一个上界；

b．如果存在使得对有≥m，则称E是有下界的，并且说m是E的一个下界；

c．如果E既有上界又有下界，则称E是有界的.

②E是有界的充分必要条件是：存在M＞0，使得对任意的有

（2）确界的定义

①上确界

设为一个非空数集，若有满足

a．M是E的一个上界，即有

b．对存在使得则称M为E的上确界，记为.

②下确界

设为一个非空数集，若有满足：

a．m是E的一个下界，即有

b．对存在使得，则称m为E的下确界，记为

显然，E的上确界就是它的最小上界，而下确界就是它的最大下界.

（3）确界定理

非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界.

（4）常用不等式

①实数的绝对值

由此可知，对任何有

②三角不等式

，

③伯努利（Bernoulli）不等式：对任意的和任意正整数n，有

④算术—几何平均不等式：对任意n个非负实数有：

（5）常用记号

①N：全体正整数组成的集合；

②Z：全体整数组成的集合；

③Q：全体有理数组成的集合；

④R：全体实数组成的集合.

显然有

⑤闭区间：

⑥开区间：

⑦左开右闭区间：

⑧左闭右开区间：且；

⑨无穷区间：.

二、函数的概念

1．函数的定义

（1）对于给定的集合，如果存在某种对应法则f，使得对X中的每一个数x，在R中存在唯一的数y与之对应，则称对应法则f为从X到R的一个函数，记做

其中y称为f在点x的值，X称为函数f的定义域，数集称为函数f的值域，记为f（x），x称做自变量，y称做因变量.